4.2.2 Полный факторный эксперимент

Полный факторный эксперимент (ПФЭ) наиболее прост в понимании и даёт наиболее полное представление об исследуемом объекте. В этом случае учитывается влияние на функцию отклика исследуемого процесса не только каждого рассматриваемого в экспе­рименте фактора в отдельности, но и их взаимодействий.

Под взаимодействием факторов понимают эффект влияния изменения значений одного (или нескольких) фактора на характер изменения функции отклика У от изменения другого фактора. Примеры отсутствия и наличия взаимодействия факторов Х₁ и Х₂ приведены соответственно на рис. 4.3а и рис. 4.3б. Видно, что в первом случае (отсутствие взаимодействия, см. рис. 4.3а) переход от Х₂ = 400° к Х₂ = 450° не меняет характер влияния первого фактора (Х₁) на У. Наоборот, во втором случае (взаимодействие факторов имеет место, см. рис. 4.3б) измене­ние уровня фактора Х₂ сказывается на наклоне линейной зависи­мости У(X₁).

Рис. 4.3. Примеры отсутствия (а) и наличия (б) взаимодействия факторов X₁ и Х₂ [20]

При построении матрицы полного факторного эксперимента (ПФЭ), допустим, что в исследуемом процессе учитываются только два фактора Х₁ и Х₂, оказывающие влияние на интересующую нас функцию отклика Y. В соответствии с принципом «от простого к более сложному» предположим, что модель исследуемого процесса является линей­ной и в соответствии с (4.2) имеет вид

(4,3)

где bo - значение функции отклика У в центре плана; коэффи­циенты Ь₁ и Ь₂ характеризуют степень влия­ния 1-го и 2-ого фактора на функцию отклика У; член Ь₁₂Х₁Х₂ учитывает эф­фект влияния взаимодействия 1-го и 2-го факторов на функцию отклика исследуемого процесса, а коэффициент Ь₁₂ характеризует весомость этого влияния.

Очевидно, что для получения линейной модели достаточно проводить варьирование значений фактора относитель­но его базового (начального) значения только на двух уровнях. Легко видеть, что все возможные комбинации для двух факто­ров (k = 2), варьируемых на двух уровнях, будут исчерпаны, если мы поставим четыре опыта. Опытные точки расположатся в вер­шинах квадрата, центр которого совпадает с центром плана (см. рис. 4.5).

Рис. 4.5 Расположение экспери­ментальных точек для двух неза­висимых факторов, варьируемых на двух уровнях [20]

Как видно, каждому из этих четырех опытов будет соответство­вать свое значение функции отклика, в зависимости от четырех различных сочетаний (2² = 4) двух значений варьируемых в дан­ном эксперименте факторов. Построим матрицу планирования ПФЭ для рассматриваемого случая, с учетом предполагаемой модели (4.3) исследуемого про­цесса.

При построении матрицы планирования ПФЭ обычно руководствуются сле­дующими правилами:

- первая строка матрицы в столбцах, соответствующих рассмат­риваемым в эксперименте факторам, заполняется безразмерным символом, соответствующим нижнему уровню значений фактора в эксперименте, т. е. символом (-);

- продолжение заполнения столб­ца, соответствующего первому по порядку фактору, проводится последовательным чередованием противоположных знаков (безраз­мерных значений уровней варьирования фактора);

- все последую­щие столбцы, соответствующие другим пронумерованным по порядку факторам, заполняются с частотой смены знака вдвое мень­шей, чем для предыдущего столбца.

- нумерация факторов осуществляется произвольно и в каждом конкретном случае определяется самим исследователем.

- заполне­ние столбцов, учитывающих взаимодействие факторов, произво­дится как результат перемножения знаков соответствующих фак­торов в каждой строке.

- первый столбец матрицы представляет собою нумерацию опы­тов;

- во втором столбце матрицы планирования приводятся зна­чения фиктивной переменной X_о= + 1, соответствующей коэффи­циенту Ьо;

- в последующих столбцах матрицы приводятся безразмерные символы, соответствующие верхнему и нижнему уровням варьирования факторов и их взаимодействий;

- в последний столбец матрицы заносятся экспериментальные значения функции отклика, полученные в результате проведения каждого опыта.

Матрица планирования ПФЭ, построенная в соответствии с этими правилами, приведена в табл. 4.1. Так как матрица построена для случая, когда в эксперименте рассматриваются только два фактора (k = 2) на двух уровнях, то ее называют матрицей планирования ПФЭ типа 2².

Таблица 4.1 Матрица планирования ПФЭ типа 2²

При обработке и анализе результатов эксперимента необходимо оценивать коэффициенты предполагаемой математиче­ской модели, представленной в нашем случае в виде полинома (4.3).

Для обеспечения независимости оценки коэффициентов поли­нома необходимо соблюдение независимости столбцов матрицы планирования эксперимента, или, иначе говоря, построенная ма­трица планирования должна быть ортогональной.

Матрица планирования эксперимента является ортогональной, если сумма произведений значений, приведенных в каждой строке двух любых столбцов матрицы, соответствующих рассматриваемым в эксперименте факторам или их взаимодействию, равна нулю. Основываясь на этом определении, пересчитав суммы произведений, можно сделать заключение, что матрицы, приведенная в табл. 4.1, является ортогональной

Если в эксперименте используются три фактора, а предпола­гаемая математическая модель линейна, то она соответствует по­линому вида

(4.4)

При варьировании каждым из трех факторов (k = 3) на двух уровнях число опытов N будет составлять N=2³ = 8, а матрица планирования ПФЭ будет иметь вид, представленный в табл. 4.2.

Таблица 4.2 Матрица планирования ПФЭ типа 2³

В этом случае опытные точки располагаются в вершинах куба, центр которого находится в начале координат (0,0,0) (см. рис. 4.6).

рис. 4.6 ?

Руководствуясь приведенным ранее правилом, легко построить матрицу и для большего числа рассматриваемых в эксперименте факторов, число опытов в которой , где k - число учитываемых в эксперименте факторов. (Выражение справедливо только для линейной модели, соответствующей полиному 1-го по­рядка (4.2), когда варьирование по каждому фактору достаточно проводить на двух уровнях.) Здесь опытные точки располагаются в вершинах k - мерного куба, расположенного в k - мерном факторном пространстве.

При планирования эксперимента суще­ствует правило - число уровней варьирования, учитываемых в эксперименте факторов, должно быть, по крайней мере, на еди­ницу больше порядка полинома, для построения которого плани­руется эксперимент. Нами рассматривалось планирование экспе­римента исходя из предположения, что математическая модель исследуемого процесса соответствует полиному 1-го порядка (ли­нейна). Поэтому достаточно было проводить варьирование каж­дого из k факторов только на двух уровнях.

При планировании ПФЭ, основанного на математической модели, например, соответствую­щей полиному 2-го порядка, который для двух факторов выглядит

, (4.6)

необходимо обеспечить варьирование по каждому из этих факторов уже на трех уровнях. Тогда число опытов, которое необходимо провести в двухфакторном эксперименте, должно быть не меньше N = 3² = 9. Для полинома третьего порядка N = 4² = 16 и т. д. Таким образом, количество уровней варьирования располагается в основании степени. Влияние количества исследуемых факторов на число необходимых опытов определяется степенной зависимостью.

Отметим преимущества ПФЭ.

1. Опытные точки находятся в оптимальном положении, т. е. математическое описание исследуемого процесса оказывается бо­лее точным, чем при проведении опытов в точках, расположенных: каким-либо другим образом.

Поясним это утверждение. В многофакторном эксперименте (ПФЭ) расстояние между экспериментальными точками без уве­личения интервала варьирования по каждой переменной увеличи­вается в √k раз (где К - число факторов) по сравнению с однофакторным экспериментом. Так, для двухфакторного эксперимента (рис. 4.5) - расстояние между экспериментальными точками - диагональ квадрата (√2), для трехфакторного эксперимента - диагональ куба (√3) и т. д.

2. Планирование и проведение ПФЭ сравнительно просто и доступно даже не слишком опытным исследователям.

3. Все факторы и соответственно коэффициенты полинома 1-го порядка оце­ниваются независимо друг от друга, что обеспечивается независи­мостью и ортогональностью столбцов матрицы планирования.

Проведение эксперимента должно обеспечить сведение к минимуму влияния случайных параметров исследуемого процесса, для чего необходимо придерживаться следующих требований:

- предусмотреть проведение нескольких параллельных опытов при одних и тех же условиях, предусмотренных соответ­ствующей строкой матрицы планирования (номером опыта);

- рандомизировать неконтролируемые па­раметры процесса, т. е. обеспечить их взаимную компенсацию.

Для выполнения первого требования должно быть предусмот­рено проведение не менее двух параллельных опытов (n = 2), а для более высокой достоверности результатов, их число увеличивают. В этом случае результаты n параллельных опытов, например, для первой строки матрицы усредняются и при анализе результатов эксперимента используют именно усредненное значение функции отклика, подсчитываемое по формуле

, (4.7)

Для выполнения второго требования порядок реализации усло­вий опыта (первый столбец матрицы) должен быть рандомизирован. (Термин «рандомизация» происходит от англ. слова random - случайный.) Она необходима, чтобы исключить влия­ние систематических ошибок, вызванных внешними условиями (переменой температуры, сырья, приемами работы лаборанта и т.д.), рекомендуется случайная последовательность при поста­новке опытов, запланированных матрицей эксперимента.

Опыты обычно рандомизируют во времени. Для этого перед непосредственной реали­зацией плана эксперимента с помощью таблицы случайных чисел определяется временная последователь­ность опытов.

Разбиение матрицы типа 2^k на блоки. Если экспериментатор располагает сведениями о предстоящих изменениях внешней сре­ды, сырья, аппаратуры и т.п., то целесообразно планировать эк­сперимент таким образом, чтобы эффект влияния внешних усло­вий был смешан с определенным взаимодействием, которое не жалко потерять. Предположим, что имеются две партии изделий или режущих пластин одного типоразмера, поставленных разны­ми производителями, изготовлен­ных из различного сырья. В этом случае матрицу 2³ можно разбить на два блока таким обра­зом, чтобы эффект неоднородности партий сказался на величине трехфакторного взаимодействия. Тогда все линейные коэффици­енты и парные взаимодействия будут освобождены от влияния неоднородности партий.

В такой матрице планирования в блок 1 будут помещены стро­ки, для которых произведение факторов х₁х₂х₃ = +1, а в блок 2 - все строки, для которых х₁х₂х₃= -1. Различие в сырье можно рассматривать как новый фактор х₄, тогда матрица 2³, разбитая на два блока, будет представлять собой полуреплику 2^4-1. При расчете коэффициентов эффект сырья отразится только на подсчете свободного члена и эффекта взаимодействия второго порядка.