4.2.4. Центральные композиционные планы

Описанный выше ДФЭ наиболее часто используется для сокращения числа опытов при двухуровневом планировании для получения линейной модели, то есть на первой стадии планирования эксперимента. При переходе исследователя от «грубой» модели к более точным моделям, например, при исследовании области экстремума, см. ниже § 4.3, осуществляется пере­ход от полинома 1-го порядка вида (4.2) к полиному 2-го по­рядка (4.6).

Для вычисления полинома второго порядка число уровней должно быть, как минимум, три. В ПФЭ 3^k при k = 2 потребуется проведение минимум девяти опытов, а для трех факторов (k = 3), их число резко воз­растает до 27. Поэтому при увеличении числа учитываемых фак­торов применение ПФЭ 3³ не рационально, так как это планиро­вание характеризуется резким увеличением объема эксперимента. В этом случае (при многоуровневом планировании) используется другой способ сокращения число опытов - построение центральных композиционных планов (ЦКП).

Ядром ЦКП яв­ляются линейные ортогональные планы, что обеспечивает большое преимущество ЦКП. Действительно, если гипотеза о линейности мате­матической модели, соответствующей исследуемому процессу, в ре­зультате анализа экспериментальных данных не подтвердилась, то нет необходимости ставить все эксперименты заново для полу­чения модели более высокого порядка. Достаточно добавить несколько специально спланированных эксперименталь­ных точек.

Поясним на примере с тремя незави­симыми факторами Х₁ Х₂ и Х₃. Предположим, что для нахождения линейной модели приме­нен ПФЭ 2³, экспериментальные точки которого находятся в вер­шинах куба. В результате анализа экспериментальных данных установлено, что имитационная математическая модель в виде полинома 1-го порядка не адекватна исследуемому процессу. Тогда проводится опыт в центре плана, в точке (0; 0; 0),. Для повышения достоверности полученного эксперименталь­ного значения функции отклика у₀ в центре плана и её дисперсии, эти опыты повторяют. Подсчитанное среднее значение функции отклика у_о сравнивают с теоретическим значением b₀, которое несложно получить из разработанной ли­нейной модели процесса в результате ранее проведенного ПФЭ 2³.

По разности b₀ - Уо оценивают кривизну поверхности отклика. При подтверждении неадекватности линейной модели ставятся дополнительные опыты для значений факторов, превышающих их абсолютные значения по верхнему и нижнему уровням (в безраз­мерных величинах). Эти значения должны быть больше единицы по абсолютным значениям, установленным в предшествующем плане ПФЭ. Таким образом, в ПФЭ 2³, к ранее проведенным восьми опытам добавляются еще семь опытов (включая опыт в центре плана), шесть из которых соответствуют «звездным точкам». «Звездные точки» (рис. 4.6) представляют собой два уровня варьирования каждого из трех факторов, значения которых лежат за пределами граней куба. Все «звездные точки» расположены на расстоянии большем, чем ± 1 от центра плана и лежат на поверх­ности сферы диаметром 2а. Общее число опытов центрального композиционного плана при k факторах составит

(4.18),

где 2k - число «звездных точек»; т₀ - число опытов в центре пла­на, а общее число уровней варьирования ЦКП равно пяти.

Рис. 4.6. Расположение экспериментальных точек в ЦКП, соответствующем полиному 2-го порядка для трех независимых переменных

В теории планирования экспериментов для получения моделей 2-го порядка различают несколько типов ЦКП. Наибольшее рас­пространение получили ортогональный и рототабельный ЦКП.

Центральный композиционный ортогональный план (ЦКОП). При составлении матрицы планирования эксперимента этот план предусматривает проведение только одного опыта, условия кото­рого соответствуют начальным значениям всех учитываемых фак­торов (в центре плана), т. е. m_о=1. Поэтому для ЦКОП выраже­ние (4.18) примет вид

(4.19)

Соответствующая матрица ЦКОП для имитационной модели исследуемого процесса, соответствующая полиному 2-го порядка. представлена таблицей 4.4.

Таблица 4.4 Матрица центрального композиционного ортогонального плана

Как видно из таблицы, ЦКОП при k = 3 содержит всего 15 опытов, в то время как ПФЭ 3³ потре­бовал бы проведения 27 опытов. Следует также обратить внима­ние на то, что условие ортогональности матрицы выполняется только для линейных членов соответствующего полинома 2-го по­рядка, представляющего собой имитационную модель вида

(4.20),

Из анализа табл. 4.4 нетрудно убедиться, что для матрицы ЦКОП условие ортогональности не выполняется для столбцов, со­ответствующих квадратичным членам полинома (4.20), так как

где i=l, k; х²_iξб - безразмерное квадратичное значение i-то фак­тора, соответствующее ξ -му опыту.

Для приведения матрицы (табл. 4.4) к ортогональному виду необходимо провести преобразование квадратичных переменных x²

(4.21),

где - преобразованное (п), безразмерное (б) квадратичное значение i-го фактора, соответствующее ξ -му опыту.

Для выполнения условия ортогональности матрицы ЦКОП, по­мимо преобразования столбцов, соответствующих квадратичным членам полинома (4.20), и приведения значений, стоящих в них, к виду (4.21), необходимо величину звездного плеча а выбирать из уравнений (подсчитанные значения приведены в табл. …) соответственно:

(4.22)

(4.23)

Ядро ЦКОП при k<5 составляет, как правило, ПФЭ типа 2^k, а при k>5 - ДФЭ типа 2^к-1, так как во втором случае полуреп­лика от ПФЭ вполне обеспечивает возможность независимой оцен­ки линейных членов полинома (4.20) и членов, учитывающих эффект взаимодействия факторов.

Таблица …. Значения звездного плеча, подсчитанные на основании условий (4.22) и (4.23) для ЦКОП.

Преобразовав соответствующим образом матрицу ЦКОП, приведенную в табл. 4.4, получим матрицу ЦКОП, которая полностью соответствует условию ортогональности (табл. 4.5).

Для приведенной в табл. 4.5 матрицы ЦКОП будет соответство­вать имитационная модель

(4.24),

Для перехода от модели (4.24) к модели (4.20), необходимо пе­ресчитать коэффициент b₀, который будет в (4.20) определяться

Таблица 4. Преобразованная матрица ЦКОП, отвечающая требованиям ортогональности

Рис. 4.7. Влияние расположения экспериментальных точек на вид информационных поверхностей до (а) и после (б) поворота осей координат [20].

Если выполняется условие (4.25), можно пользоваться полино­мом 2-го порядка в общем виде (4.6) для проведения эксперимента в соответствии с преобразованной матрицей ЦКОП.

При применении ЦКОП получение идентичной информации во всех направлениях исследуемого пространства невозможно, так как дисперсии ошибок определения коэффициентов полинома (3.20) различны, т. е. точность пред­сказания выходной величины (значения функции отклика У) в раз­личных направлениях факторного пространства неодинакова - ин­формационные поверхности не являются сферами. Это можно пояснить с помощью рис. 4.7.

В § 4.2 было показано (см. рис. 4.4), что точность получаемого экспериментально представления об исследуемом объекте зави­сит от интервалов варьирования. При одинаковом взаимном рас­положении экспериментальных точек на рис. 4.7, а и б точность информации, получаемой с различных направлений меняется при повороте осей координат относительно экспериментальных точек. Так, на рис. 4.7,6 более точную информацию (экспериментальные точки расположены на большем расстоянии друг от друга) имеем по осям координат, а на рис. 4.7, а - с межосевых направлений, но в обоих случаях информационные поверхности далеки от сфери­ческих.

Центральный композиционный рототабельный план (ЦКРП) имеет то преимущество, что его информационная поверхность приближается к сфе­рической т. е. точность У во всех направлениях на одинаковом расстоянии R от центра планирования становится практически одинаковой

При этом, ЦКРП позволяет минимизировать ошибки в опреде­лении У, связанные с неадекватностью представления результатов исследования процесса имитационной моделью в виде полинома 2-го порядка. Это достигается тем, что, выбирая удаленные от центра плана «звездные точки» на осях координат для непрерыв­ности информационной поверхности, они дополняются информа­цией из центра плана, представляющей собой сферу с нулевым радиусом, т. е. информацией равноточной во всех направлениях. Удельный вес этой информации в общем объеме информации уве­личивается, что достигается увеличением числа опытов (m₀) в центре плана. Ставя несколько экспериментов в центре плана, «накачиваем» информа­цию в центр плана (рис. 4.7), приближая информационные поверх­ности к сферам.

Таким образом, в ЦКРП, число опытов т₀ в центре плана зави­сит от числа учитываемых в эксперименте факторов, т. е. m_o=f(k). Так, для k = 3 m_o = 6 (т. е. числу звездных точек). Это, безусловно, приводит к увеличению числа номеров опытов по сравнению с ЦКОП, но обеспечивает непрерывность информационной поверх­ности и ее идентичность независимо от поворота осей координат.

При реализации рототабельных планов можно отказаться от постановки параллельных опытов для оценки воспроизводимости экспериментов во всех точках плана, что уменьшит общее число опытов по сравнению с ЦКОП. В этом случае дисперсия воспроизводимости (дисперсия эксперимен­тальных значений функции отклика в параллельных опытах) мо­жет быть оценена по параллельным экспериментам в центре плана.

Чтобы композиционный план был рототабельным, величина звездного плеча α выбирается из условий:

(4.26),

(4.27),

Подсчитанные значения звездного плеча α и число центральных точек m₀, в зависимости от числа учитываемых в эксперименте фак­торов, приведены в табл. ….

Таблица … Размер «звёздного плеча» a и числа экспериментов в центре плана m₀ в зависимости от числа рассматриваемых факторов k ЦКРП

Для k = 3 и соответственно m₀ = 6 выражение (4.18) примет вид

(4.28),

Таблица 4.6 Матрица центрального композиционного рототабельного плана

Из выражения (4.27) следует, что для трех учитываемых в эксперименте факторов Х\, Х₂ и Х₃ в ЦКРП потребуется проведе­ние не менее 20 опытов (табл. 4.6) по сравнению с 15-ю опытами в случае применения ЦКОП (табл. 4.4). Причем, все эти дополни­тельные пять опытов проводятся в центре плана.

Столбцы, соответствующие взаимодействию линейных факторов в матрице ЦКРП, приведенной в табл. 4.6, отсутствуют. Из сравне­ния табл. 4.6 с табл. 4.2 и табл. 4.4 (матрица для ПФЭ типа 2³) нетрудно убедиться в том, что значения, приведенные в этих столб­цах включительно до опыта № 8, были бы идентичны. Начиная с опыта № 9, значения, соответствующие взаимодействию линейных факторов, будут равны нулю, т. е. не влияют на оценку зна­чимости соответствующего взаимодействию коэффициента в поли­номе (4.20) при последующем анализе экспериментальных данных. Учитывая также тот факт, что оценка значимости этих коэффи­циентов, сделанная при обработке и анализе результатов экспе­римента в процессе ранее проводимого ПФЭ, останется неизменной и в ЦКРП, приводить эти столбцы в матрице планирования ЦКРП не обязательно.

Из анализа табл. 4.6 видно, что матрица ЦКРП не соответ­ствует условиям ортогональности для столбцов с квадратичными членами полинома (4.20). Поэтому оценка коэффициентов полинома 2-го порядка, проводимая но результатам эксперимента в соответствии с матрицей ЦКРП, не будет являться независимой. Но этот недостаток ЦКРП компенсируется более высокой точно­стью определения У во всех направлениях на одинаковом расстоя­нии R от центра плана. При этом следует учитывать тот факт, что ЦКРП использует независимую оценку коэффициентов полинома при линейных его членах, проведенную по результатам преды­дущего полного или дробного факторного эксперимента.