4.2 Планирование эксперимента и методы оптимизации параметров процесса

Основной целью проведения современного эксперимента с по­зиций производителя продукции является разработка математиче­ской модели, адекватно описывающей процесс и позволяющий, в конечном результате, осуществлять его управление. Именно с помощью такой модели можно эффективно управлять производ­ством, оперативно изменяя его параметры в соответствии с запро­сами потребителя и обеспечивая выпуск высококачественной про­дукции.

При этом исследователь должен:

1) обеспечить высокую надежность и четкость интерпретации результатов экспериментальных исследований;

2) составить четкую и последовательную логическую схему по­строения всего процесса исследования: что, когда и как нужно делать;

3) максимально формализовать процесс разработки модели и сопоставления экспериментальных данных различных опытов од­ного и того же объекта исследований с целью широкого примене­ния электронно-вычислительных средств.

Всем перечисленным требованиям отвечают статистические ме­тоды планирования эксперимента, являющиеся одним из эмпири­ческих способов математического описания и оптимизации сложных процессов. Начало математическому планированию экспериментов положено в 30-40-х годах.

При планировании эксперимента рассматриваются только та­кие объекты, для которых выполняются требования воспроизводи­мости и управляемости. Первое требование означает, что при повторении эксперимента при одних и тех же значениях входных параметров результаты эксперимента имеют разброс, не превышающий некоторой заранее заданной величины (т. е. требо­ваний к точности эксперимента). Второе требование означает, что объект исследования должен быть управляемым, т.е. эксперимен­т - актив­ным.

Планирование эксперимента состоит в процедуре выбора чис­ла и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. При этом обеспечивается следующее:

• одновременное варьирование всеми переменными по специ­альным правилам;

• использование математического аппарата, формализующего многие действия экспериментатора;

• выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обосно­ванные решения после каждой серии экспериментов;

• минимизация общего числа опытов.

Наиболее часто требуется установить количественную связь между значением выходного параметра и факторами, от которых он зависит. Такой эксперимент называется интерполяционным.

В этом случае для описания объекта исследования удобно пользоваться кибернетической схематиза­цией, представляющей объект исследования в виде «черного ящика» (рис. 14.1). Стрелки справа, обозначенные у_ь изображают функции, результаты процесса характеристики целей исследования, т.е. «параметров оп­тимизации». Встречаются и другие названия: «критерий оптимиза­ции», «целевая функция», «выход черного ящика», «функция отклика» или просто «отклик» и т.д. Все способы такого воздействия на объект исследования (входы «черного ящика») обозначены х_i, и называются «факторами», «независимыми переменными». Совокупность возможных значений всех факторов можно рассматривать как k-мерное «факторное пространство» с координатами ().

Для решения задачи необходимо создать математическое описание процесса, то есть математические модели, связывающие параметр оптимизации с факторами обычно представ­ляется в виде полинома, где У - функция отклика, а Х₁, Х₂, Хз,..., Хн - факторы исследуемого процесса. Процесс проверки степени соответствия математической модели описываемому процессу называют «проверкой адекватности», а полученную модель - «адекватной».

Каждый фактор может принимать в опыте одно из нескольких значений. Эти значения называют «уровнями». Всякий фактор имеет определенное число дискретных уровней. Фиксированный набор уровней факторов (т.е. установление каждого фактора на некото­рый уровень) определяет одно из возможных состояний «черного ящика». Одновременно это есть условия проведения одного из возможных опытов. Перебор всех возможных наборов состояний дает полное множество различных состояний данного «ящика», т. е. число возможных различных опытов. Число различных состоя­ний получается путем возведения числа уровней факторов в сте­пень числа факторов k.

Выбор параметра оптимизации определяется тем аспектом, который в конкретном случае представляет наибольший интерес.

Параметры оптимизации могут быть весьма разнообразными:

- экономические: прибыль, себестоимость, рентабельность и т.п.;

- технико-экономические: производительность, эффективность, долговечность, надежность и т.п.;

- статистические: характеристика распределения, дисперсия, стандартное отклонение;

- чисто технические: размер, характеристика механических свойств и т.п. При механической обработке могут выбираться такие параметры оптимиза­ции, как стойкость режущего инструмента, точность базирова­ния, точность обработанных поверхностей, шероховатость поверх­ности детали и т. п.

Параметр опти­мизации должен удовлетворять следующим требованиям.

1. Быть количественным, т. е. всегда задаваться числом. То множество значений, которые может принимать пара­метр оптимизации, называется областью определения. Если нет способа измерения параметра оптимизации или он не может быть количественно зафиксирован, необходимо провести его ранжирова­ние, то есть присвоение рангов по зара­нее выбранной шкале.

2. Быть однозначным в статистическом смысле, т. е. заданному набору значений факто­ров должно соответствовать с точностью до ошибки эксперимен­та определенное значение параметра оптимизации.

3. Быть простым, иметь физический смысл, лег­ко вычисляться и выражаться одним числом.

4. Оценивать действительную эффективность функцио­нирования системы или качество объекта, т.е. задача эксперимента должна ставиться корректно.

5. Обладать по возможности универсаль­ностью и полнотой, то есть всесторонне характеризовать объект исследования, что выполняется далеко не всегда. Например, часто характеристики качества вступают в противоречие с экономическими ас­пектами.

Выбор факторов играет важнейшую роль в построении математической модели, см. § 3.4

Если какой-либо существенный фактор окажется не включенным в совокуп­ность управляемых исследователем условий проведения экспери­ментов, и при этом его уровень не будет контролироваться, то это может привести к значительным погрешностям результатов. Если неучтенный фактор произвольно принимал случайные значения, а информация об этом не была зафиксирована, это также значительно увеличит ошибку опыта. При поддержании фактора на некотором фиксированном уровне (не задействован в эксперименте) может быть получено лож­ное представление об оптимуме, так как при другом фиксированном уровне этого фактора оптимум параметра оптимизации может сместиться.

При планировании эксперимента факторы должны быть уп­равляемыми (активный эксперимент). Нужно знать последователь­ность действий (операций), с помощью которых устанавливаются конкретные значения (уровни) фактора («операциональный» фактор).

Дополнительные требования предъявляются к совокупности факторов:

1. Требование совместности: все комбинации факторов должны быть осуществимы и безопасны. Если это требование не выполняется, необходимо разбить область определения факторов на диапазоны, «блоки».

2. Требование независимости, «некоррелированности», «ортогональности» факторов. При существенной связи между рассматриваемыми факторами (явление «мультиколлинеарности») не удаётся получить достоверной математической модели