4.2.1 Методология планирования эксперимента

Ещё перед планированием эксперимента в области, содержащей экстремум параметра оптимизации, когда ещё нет достаточной априорной ин­формации, иссле­дователь должен хотя бы приблизительно представлять форму поверхности отклика, чтобы «добраться» до этой области экстремума. Поэтому часто процедура планирования эксперимента проводит­ся в два этапа.

Первый этап - поисковый, «предпланирование» эксперимента нахождение области экстремума и получение качественного представления о форме поверхности отклика. На этом этапе обычно выбирают достаточно узкие пределы варьирования факторов, что позволяет адекватно отразить поверхность отклика в этих пределах линейной моделью.

Второй этап проводят для последующей более аргументированной «интерпретации модели», выбора модели, наиболее точно описывающей поверхность отклика в области экстремума.

Для наглядности рассмотрим поверхность отклика для эксперимента с двумя факто­рами. По одной оси координат будем откладывать в некотором масштабе значения (уровни) одного фактора, а по другой оси — второго, а по третьей - значения отклика. В этом случае поверхность отклика Б в факторном пространстве будет выглядеть так, как это показано на рис. 14.2.

Рис. 14.2. Графическое представление поверхности отклика в факторном пространстве [19]

Для двух факторов наглядное представление о поверхности отклика можно получить путем её сечения плоскостями, параллельны­ми плоскости Х₁Х₂ и проецирования полученных в сечениях линий на эту плоскость. Получаются так называемые линии равных уровней, или, в нашем случае, линии равного отклика, каждая из которых соответствует постоянному значению параметра оптимизации.

В силу того что невозможно измерить отклик при каждом сочетании факторов, необходимо выбрать такую стратегию, которая приближала бы к оптимуму. Для этого используется так называемый шаговый принцип предпланирования эксперимента. Предположим, что опти­мум существует и что поверхность отклика непрерывная, гладкая и имеет единственный оптимум. В большинстве случаев в области резания, металлорежущих станков и инструментов, в технологии машиностроения такое предположение, как показывает практи­ка, справедливо. А если это так, то можно представить изучаемую функцию в аналитическом виде.

Варианты шагового принципа предпланирования эксперимента представлены ниже, см. …4.4.

Построение интерполяционной модели является завершающим, этапом планирования в области экстре­мума. Как правило, необходимо последовательно повышать сте­пень полинома и рассчитывать коэффициенты модели до тех пор, пока не будет достигнута её адекватность. Поэтому в планирова­нии эксперимента общепринята такая процедура: вначале выби­рают простейшую модель (обычно линейную, т.е. модель первого порядка) и находят для нее коэффициенты. Подставляют в эту модель значения параметров и рассчитывают отклик у. Затем по специальным формулам статистики проводят оценку адекватнос­ти модели (формулы рассматриваются далее). Если адекватность доказана, то эксперимент считают завершенным. Если же адек­ватности нет, берут следующий по порядку полином и снова пос­ле расчетов оценивают адекватность. Увеличение порядка поли­нома проводят до тех пор, пока не будет достигнута адекватность модели или, если число членов в усложненной полиномиальной модели превышает число экспериментов, проводят дополнитель­ные эксперименты. В некоторых случаях, если проведение самих экспериментов не связано с большими расходами, а бблыпую часть расходов составляет подготовка условий для проведения экспери­ментов, поступают в обратном порядке. Проводят избыточное число экспериментов, берут за основу модель высокого порядка и вы­полняют расчеты коэффициентов модели и оценку адекватности, поэтапно упрощая модель до тех пор, пока не будет достигнут предел точности получения экспериментальных данных.

Для описанной процедуры рекомендуется выбирать модель в виде степенных функций следующего вида (такого типа функции часто применяют при исследовании процессов резания):

Приведенную модель иногда записывают в логарифмическом виде:

а после вычислений производят потенцирование. Это позволяет при расчете коэффициентов модели использовать приемы расчета, от­работанные для полиномов. С помощью специальных формул, о которых будет идти речь далее, по результатам экспериментов рас­считывают постоянные коэффициенты С_о, С_ь С_ъ С₃ и С₄.

Очень удобным видом модели являются полиномиальные моде­ли, которые позволяют выявить влияние на параметр оптимиза­ции не только отдельных факторов, но и их взаимодействие. По­линомиальные модели именуются по наибольшей степени факто­ра в полиноме:

• модель нулевой степени у = й0;

• первой степени у = Ьо + Ьхх{ + Ъ2х2\

• второй степени у = 60 + Ьххх + Ь2х2 + ЬХ2ххх2 + Ъхххх + Ъ22х\\

• третьей степени у - Ьо + Ьххх + Ь2х2 + ЬХ2ххх2 + Ьхххх + Ь22х2 + + ЬХХ2х\х2 + bmxxxl + Ътх\ + Ь222х2\

Чем сложнее функция отклика, тем более высокий порядок полинома приходится использовать для достижения требуемой точности математического описания исследуемого процесса. Как правило, функция отклика нам неизвестна, но мы предполагаем (на основе теории, литературных данных, но лучше всего — на основе проведенных однофакторных экспериментов), что ее при­ближенно можно описать одной из представленных выше формул. Операция замены неизвестной функции по некоторой совокуп­ности экспериментальных откликов другой функцией, условно говоря, эквивалентной, называется аппроксимацией, т.е. мы апп­роксимируем неизвестную функцию полиномом. На рис. 14.7 пред­ставлен пример уменьшения погрешности аппроксимации экспе­риментальных данных по мере увеличения порядка полиномиаль­ной модели. Как видим, чем больше членов в полиномиальной модели, тем более точно она отражает экспериментальные ре­зультаты. Однако, как будет показано в дальнейшем изложении, с увеличением числа членов необходимо провести большее число экспериментов, чтобы найти значения коэффициентов.

Необходимо отметить еще одно обстоятельство. Как ни стран­но на первый взгляд это звучит, существует понятие «чрезмерной (или неоправданной) точности». Дело заключается в том, что при любом экспериментальном исследовании есть некоторая ошибка

Рис. 14.7. Примеры аппроксимации экспериментальных точек (•) по­линомами нулевого (i), перво­го (2), второго (3) и третьего (4) порядков [19]

Выделим основные этапы планирования эксперимента в области экстремума:

- выбор вида математической модели, которую планируется получить в результате эксперимента;

- разработка плана эксперимента, порядка проведения опытов, числа дублей,

- собственно эксперимент (отработка методики экспериментирования, оценка погрешностей, реализация плана опытов, оценка достоверности опытов).

- обработка результатов наблюдений, построение модели, анализ, обобщение, при необходимости планирование эксперимента для совершенствования модели.

План эксперимента в этом случае определяет расположение экспериментальных точек в k-мерном факторном пространстве или, другими словами, условия для всех опытов, которые необходимо провести. Обычно план эксперимента задается в виде матрицы планирования, каждая строка которой определяет условия опыта, а каждый столбец - значения контролируемых и управляемых па­раметров в исследуемом процессе, т. е. значения факторов, соот­ветствующих условию опыта.

В последний столбец матрицы заносят значения функции от­клика у полученные экспериментальным путем в каждом опы­те, проведенным в соответствии с условиями, указанными в стро­ках матрицы планирования эксперимента.

Планирование эксперимента начинают с выбора центра плана, т. е. точки, соответствующей начальному значению всех исполь­зуемых в эксперименте факторов (х₁₀, х₂₀, х_k0) в окрестностях которой в дальнейшем ставится серия планируемых опытов. Очевидно, что начальным значениям факторов будет также соответ­ствовать начальное значение функции отклика у₀. Центр плана обычно выбирается на основе априорных сведений о процессе. Если же их нет, то обычно в качестве центра плана принимается центр исследуемой области.

Значение факторов в каждом опыте, в случае применения ма­трицы планирования эксперимента, отличается от начального их значения x_i0 на величину интервала варьирования ΔХ_i. Одним из важнейших предварительных условий успешного проведения эксперимента с целью разработки математической модели, адекватной исследуе­мому процессу, является выбор оптимальной величины интервала ΔХ_i.

Предположим, что исследуемая функция Y=f(X₁) имеет вид, приведенный на рис. 4.1. Если выбрать ΔХ₁ неболь­шим (ΔХ₁'), то при анализе результатов эксперимента можно придти к. ошибочному выводу о том, что его влиянием на функцию отклика можно пренебречь и при дальнейшем проведении эксперимента - исключить. Интервалы варьирования по каждому фактору ("управляемой" или "независимой" переменной Х_i) должны выбираться настолько большими, чтобы приращение величины выходного параметра (функции отклика) Y к базовому значению у₀ можно было бы надежно выделить на фоне «шума», создаваемого исследуемым процессом, при небольшом числе параллельных опытов. На рис. на примере линейной зависимости функции отклика Y от одного фактора Х₁ показано, что с увеличением интервала варьирования ΔХ₁ увеличивается "зона неопределённости"

книга?

, но одновременна увеличивается приращение функции Y.

Рис. 4.4. Влияние размера интервала варьирования на точность определения зависимости Y=f (X) [20]

Но при увеличении ΔХ_i увеличивается другая опасность - получе­ние неадекватной модели. Так выбор слишком большой величины интервала варьирования (ΔХ"₁) приводит к необходимо­сти замены нелинейной модели линейной, см. рис. .

Рис. 4.1. Вид исследуемой функции (кривая 1) и два варианта выбора шага экс­перимента: ΔXi - заниженная величина; ΔXi" - завышенная величина [20]

Правильный выбор оптимальной величины интервала варьирования зависит от уровня знаний экспериментатором исследуемого процесса. При недостатке таких знаний руководствуются правилом, что интервал варьирования должен быть в пределах 0,05... ... 0,3 от диапазона варьирования исследуемого фактора.

Для удобства обработки результатов опытов, проводится преобра­зование текущих значений учитываемых в экспе­рименте факторов (x_i) к безразмерным величинам (x_iб=)

(4.1)

где Xoi - базовое или начальное значение i-го фактора в центре плана; ΔX_i - значение интервала варьирования по i-му фактору; x_i - текущее значение i-го фактора.

Значения каждого фактора, которые принимаются для постановки опытов, называются уровнями варьирования данного фактора. Верхний уровень варьирования в кодированном (безразмерном) виде всегда будет обозначатьсяZ = +1; нижний уровень варьирования в кодированном виде будет обозначатьсяZ = -1; нулевой уровень, то есть середина области варьирования (+)/2 будет обозначатьсяZ = 0. Таким образом, в кодированной системе значения факторов находятся в пределах:

Например, пусть базовое значение одного из факторов исследуемого процесса равно Х = 400 ед. При этом шаг варьирования по этому фактору ΔX = 50 ед. Пусть варьирование значений фактора относительно его базового значения проводится на двух уровнях: X_max = 450 ед, X_min = 350 ед. Переходя от абсолютных значений рассматриваемого фактора к безразмерным его значениям, получим в соответствии с (4.1) для верхнего уровня рассматриваемого фактора Z_max = (450 - 400)/50 = + 1, а для нижнего - Z_min = (350 - 400)/50= -1. Координаты центра плана равны нулю и совпадают с началом координат. При составлении матрицы планирования эксперимента верхний и нижний уровни переменных для упроще­ния записи заменяют символами (+) и (-).

Непременным условием правильного построения модели является её гомоскедастичность (однородность дисперсий y_i в различных точках плана). Проверку гомоскедастичности проводят на основе критериев Кохрана, Бартлетта и им подобных, см. 3.3 на этапе первоначальной обработки результатов или предполагают её наличие на основе априорных сведений.

Разработку модели процесса обычно проводят по принципу «от простого к более сложному», то есть, если нет иных априорных представлений, начинают с предположения, что имитируемая модель исследуемого процесса является линейной и имеет вид полинома 1-го порядка.

(4.2)

Если после обработки и анализа результатов эксперимента выяснится, что сделанное предположение о линейности модели является ошибочным, переходят к планированию эксперимента из предположения, что эта модель может быть представлена полино­мом 2-го порядка и т. д. до тех пор, пока не будет разработана модель адекватная исследуемому процессу.