4.2.3 Дробный факторный эксперимент

При большом числе учитываемых в эксперименте факторов ПФЭ становится громоздким, затратным и требует большое время для своего проведения, так как число опытов с ростом k увеличивается по экспоненте, см. выше. Число опытов можно сократить, если априори извест­но, что на процесс не оказывают влияния те или иные взаимодей­ствия; действительно, в реальной ситуации некоторые взаимо­действия факторов особенно высокого порядка (т. е. включающих большое число символов) не влияют на выходной параметр. В этом случае можно использовать так называемые дробные реп­лики от ПФЭ или дробный факторный эксперимент (ДФЭ).

Предположим, что необходимо получить математическое опи­сание процесса при трех учитываемых факторах Х₁, Х₂ и Х₃ ока­зывающих влияние на функцию отклика У.

При использовании ПФЭ для определения коэффициентов по­линома 1-го порядка необходимо провести восемь опытов (2³) в со­ответствии с матрицей планирования, приведенной в табл. 4.2. Число номеров опытов должно быть не менее числа коэффициен­тов полинома, в соответствии с которым планируется эксперимент. В данном случае предполагаемая математическая модель, описы­вающая исследуемый процесс, имеет вид полинома (4.4), содер­жащего восемь коэффициентов. Однако, если взаи­модействие между факторами Х₁, Х₂ и Х₃ отсутствует, можно ограничиться четырьмя опытами. В этом случае можно воспользо­ваться матрицей планирования ПФЭ для двух факторов Х₁ и Х₂ приведенной в табл. 4.1, заменив в ней обозначение х_1бх_2б на х_3б, соответствующее безразмерному значению фактора Х_ъ на верхнем и нижнем его уровнях. Чередование знаков в этом столбце соот­ветствует результату перемножения безразмерных значений двух других факторов (Х₁ и Х₂), т. е. остается неизменным после за­мены символов в матрице планирования, которая после введения в нее третьего фактора остается ортогональной. Эксперимент в этом случае будет ставиться уже с включением третьего фактора, изменяющегося согласно столбцу х_1бх_2б ПФЭ (табл. 4.1), а пред­полагаемая математическая модель будет иметь вид полинома 1-го порядка, не учитывающего взаимодействия факторов, т. е.

, (4.9)

Такой сокращенный план содержит половину опытов от тре­буемого их числа 2^k согласно плану ПФЭ (в нашем случае четыре опыта вместо восьми) и называется полурепликой от ПФЭ типа 2^k. Условное обозначение такого плана: ДФЭ типа 2^k-1, где k - число учитываемых в эксперименте факторов; 1 число взаимодействий, замененных факторами, учитываемых в экспе­рименте. Для рассматриваемого случая трех факторов Х₁ Х₂ Х₃ ма­трица планирования ДФЭ типа 2^3-1будет иметь вид, представленный в таблице….

Таблица … Ма­трица планирования ДФЭ типа 2^3-1

Приведенное планирование эксперимента дает возможность при обработке и анализе его результатов оценить в полиноме (4.9) сво­бодный член Ь_о и коэффициенты при линейных членах Ь_ь Ь₂ и Ь₃. Но при этом предполагается, что полностью отсутствует или пренебрежительно мало влия­ние на функцию отклика эффектов взаимодействия факторов иссле­дуемого процесса. Только в этом случае математическая модель, представленная полиномом, в котором отсутствуют члены, учиты­вающие эти взаимодействия (так как соответствующие им коэф­фициенты равны нулю), может быть адекватна исследуемому про­цессу.

При использовании матрицы планирования ДФЭ нужно всегда помнить, что мы получаем совместную оценку нескольких эффек­тов: факторов и их взаимодействий. Действительно,

(4.10)

Поэтому подсчитываемые в дальнейшем (см. гл. 5) значения линейных коэффициентов Ь₁, Ь₂ и Ь₃ полинома по эксперименталь­ным значениям функции отклика будут всегда включать также значения коэффициентов, учитывающих эффект влияния взаимо­действия факторов на функцию отклика. В результате этого подсчитанные зна­чения коэффициентов полинома (4.9) фактически будут иметь сле­дующий вид:

(4.11)

где b₁ b₂ и Ь₃ - значения линейных коэффи­циентов полинома (4.9); а ь' - полученные их значения при наличии эффекта взаимодействия факторов на функ­цию отклика.

Часто имеет смысл начинать исследования с ДФЭ. Если у исследователя появи­лись сомнения в том, что какие-то взаимодействия, ранее не вклю­ченные в план эксперимента, могут влиять на выходной параметр, он всегда имеет возможность расширить матрицу планирования до ДФЭ меньшей дробности или ПФЭ и найти раздельную оценку интересующих его эффектов.