Моделирование дискретных систем. Преобразование непрерывных линейных систем к дискретной форме

Известно, что схемы моделирования дискретных систем могут быть составлены по передаточным функциям или разностным уравнениям.

Рассмотрим метод составления структурных схем, основанный на замене оператора непрерывного интегрирования оператором численного интегрирования. В зависимости от используемой информации, применяются несколько операторов численного интегрирования.

Метод прямоугольников или прямой метод Эйлера:

, (1)

метод прямоугольников или обратный метод Эйлера:

(2)

метод трапеций:

. (3)

Используя, вышеприведенные операторы (выражения (1-3)), можно перейти от структурной схемы непрерывной системы к структурной схеме дискретной системы. Для того, что бы фазовые координаты дискретных систем отображали физические величины реальной (аналоговой) системы, непрерывные передаточные функции должны быть представлены детализированными структурными схемами (ДСС).

Если использовать только вышеперечисленные методы составления структурных схем дискретных систем регулирования, то не представляется возможным создать дискретную модель идентификатора. Поэтому рассмотрим еще один метод составления структурных схем, который позволяет так обосновать структуру дискретной модели, что ее фазовые координаты будут соответствовать физическим величинам аналоговой системы.

Этот метод основан на сравнении динамических характеристик непрерывной и дискретной моделей. Как известно, в пространстве состояния непрерывная модель задается матричными уравнениями:

(4)

где - матрица коэффициентов, управления и выхода дискретной системы; - фазовые координаты аналоговой системы; - выходная величина аналоговой системы.

Теперь разработаем процедуру получения дискретной модели по ее аналоговому эквиваленту, сохранив физический смысл аналоговых переменных состояния, только придав им дискретную форму. Запишем общее решение матричного уравнения (4), используя формулу Коши

, (5)

так как - выход экстраполятора, то на интервале сохраняет постоянное значение . Определим в конце интервала дискретности при

. (6)

Определим для дискретной модели в конце первого интервала дискретности, используя выражения

. (7)

Чтобы координаты дискретной системы совпадали с соответствующими координатами аналоговой системы, должны выполняться следующие соотношения:

(8)

В этом случае выражения (6) и (7) при будут совпадать, что приведет к совпадению дискретных фазовых координат с аналоговыми.

Выразим выходную величину аналоговой системы при через фазовые координаты и матрицу :

.

Так как выходные координаты аналоговых и дискретных систем совпадают, то выполнение условия приводит к равенству матриц и :

.