Структура и свойства математической модели

В общем случае исследуемую систему количественно можно охарактеризовать векторами x, β, y внешних, внутренних и выходных параметров соответственно.

При создании системы значения выходных параметров или диапазоны их возможного изменения оговаривают в техническом задании на разработку системы, тогда как внешние параметры характеризируют условия его функционирования.

Для простой системы ММ может представлять собой соотношение

, (1.1)

где - векторная функция некоторого аргумента. Модель в виде (1.1) позволяет легко вычислять выходные параметры по задаваемым значениям внешних и внутренних параметров, т.е. решать так называемую прямую задачу анализа, так называемый поверочный расчет.

При создании системы возникает необходимость решать более сложную задачу синтеза по обусловленным техническим заданием на проектирование системы значениям внешних и выходных параметров находить его внутренние параметры. В инженерной практике решению такой задачи соответствует проектировочный расчет, часто имеющий целью оптимизацию внутренних параметров по некоторому критерию оптимальности. Однако при построении ММ системы функция в (1.1) обычно заранее не известна и ее требуется установить. Эта наиболее сложная задача решается при идентификации ММ.

Задача идентификации может быть решена путем математической обработки информации о ряде таких состояний системы, для каждого из которых известны значения выходных, внутренних и внешних параметров. Один из таких способов связан с применением регрессионного анализа. Если информация о внутренних параметрах отсутствует или же внутреннее устройство системы слишком сложное, то ММ строят по принципу черного ящика, устанавливая соотношение между внешними и выходными параметрами путем исследования реакции системы на внешние воздействия.

Взаимосвязь выходных, внутренних и внешних параметров, отображаемая соотношением (1.1), определяет структуру ММ, которая в общем случае может быть выражена и в неявном виде.

Из сказанного ранее следует, что при изучении реально существующей или гипотетической системы математические методы применяют к ее математической модели. Это применение будет эффективным, если свойства ММ удовлетворяют определенным требованиям. Рассмотрим эти свойства.

Полнота ММ позволяет отразить в достаточной мере именно те характеристики и особенности системы, которые интересуют нас с точки зрения поставленной цели проведения вычислительного эксперимента. Например, модель может достаточно полно описывать протекающие в системе процессы, но не отражать его габаритные, массовые или стоимостные показатели.

Точность ММ дает возможность обеспечить приемлемое совпадение реальных и найденных при помощи ММ значений выходных параметров системы, составляющих вектор

.

Пусть и — найденное при помощи ММ и реальное значения i-гo выходного параметра. Тогда относительная погрешность ММ по отношению к этому параметру будет равна

В качестве скалярной оценки вектора

можно принять какую-либо его норму, например

или .

Поскольку выходные параметры системы при помощи ММ связаны с его внешними и внутренними параметрами, то , как количественная характеристика точности модели этой системы, будет зависеть от их значений. Адекватность ММ — это способность ММ отражать свойства системы с относительной погрешностью не хуже заданной.

В общем смысле под адекватностью ММ понимают правильное качественное и достаточно точное количественное описание именно тех характеристик системы, которые важны в данном конкретном случае. Модель, адекватная при выборе одних характеристик, может быть неадекватной при выборе других характеристик системы. В ряде прикладных областей, еще недостаточно подготовленных к применению количественных математических методов, ММ имеют главным образом качественный характер. Эта ситуация типична, например, для биологической и социальной сфер, в которых количественные закономерности не всегда поддаются строгой математической формализации. В таких случаях под адекватностью ММ естественно понимать лишь правильное качественное описание поведения изучаемых систем.

Экономичность ММ оценивают затратами на вычислительные ресурсы (машинное время и память), необходимые для реализации ММ на ЭВМ. Эти затраты зависят от числа арифметических операций при использовании модели, от размерности пространства фазовых переменных, от особенностей применяемой ЭВМ и других факторов. Очевидно, что требования экономичности, высокой точности и достаточно широкой области адекватности ММ противоречивы и на практике могут быть удовлетворены лишь на основе разумного компромисса. Свойство экономичности ММ часто связывают с ее простотой. Более того, количественный анализ некоторых упрощенных вариантов ММ может быть осуществлен и без привлечения современной вычислительной техники. Однако его результаты могут иметь лишь ограниченную ценность на стадии отладки алгоритма или программы, если упрощение ММ не согласовано с концептуальной моделью системы.

Робастность ММ характеризует ее устойчивость по отношению к погрешностям исходных данных, способность нивелировать эти погрешности и не допускать их чрезмерного влияния на результат вычислительного эксперимента. Причинами низкой робастности ММ могут быть необходимость при ее количественном анализе вычитания близких друг к другу приближенных значений величин или деления на малую по модулю величину, а также использование в ММ функций, быстро изменяющихся в промежутке, где значение аргумента известно с невысокой точностью.

Продуктивность ММ связана с достоверностью исходных данных. Если они являются результатом измерений, то точность их измерения должна быть выше, чем для тех параметров, которые получаются при использовании ММ. В противном случае ММ будет непродуктивной и ее применение для анализа конкретной системы потеряет смысл. Ее можно будет использовать лишь для оценки и характеристик некоторого класса систем с гипотетическими исходными данными.

Наглядность ММ является желательным, но необязательным свойством. Однако использование ММ и ее модификация упрощаются, если ее составляющие (например, отдельные члены уравнений) имеют ясный содержательный смысл. Это позволяет предвидеть результаты вычислительного эксперимента и облегчить контроль их правильности.