logo
УДК 330-8

1.5. Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии

Прогнозирование по уравнению регрессии представляет собой подстановку в уравнение регрессии соответственного значения х.Такой прогноз называется точечным.Он не является точным, поэтому дополняется расчетом стандартной ошибки ; получается интервальная оценкапрогнозного значения:

(30)

Преобразуем уравнение регрессии:

ошибка зависит от ошибки и ошибки коэффициента регрессииb, т.е..

Из теории выборки известно, что .

Используем в качестве оценки 2остаточную дисперсию на одну степень свободыS2, получаем:.

Ошибка коэффициента регрессии из формулы (15):

Таким образом, при х=хkполучаем:

(31)

Как видно из формулы, величина достигает минимума прии возрастает по мере удаленияотв любом направлении.

Для нашего примера эта величина составит:

При , Прихk=4

Для прогнозируемого значения 95% - ные доверительные интервалы при заданномхkопределены выражением:

, (32)

т.е. при хk=4 ±2,57-3,34 или ±8,58. Прихк=4 прогнозное значение составит

уp=-5,79+36,84·4=141,57 - это точечный прогноз.

Прогноз линии регрессии лежит в интервале: 132,99 ≤≤150,15.

Мы рассмотрели доверительные интервалы для среднего значения у при заданномх.Однако фактические значенияуварьируются около среднего значения ,они могут отклоняться на величину случайной ошибки, дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободыS2 .Поэтому ошибка прогноза отдельного значенияудолжна включать не только стандартную ошибкуно и случайную ошибкуS.Таким образом, средняя ошибка прогноза индивидуального значенияyсоставит:

(33)

Для примера:

Доверительный интервал прогноза индивидуальных значений уприхк=4 с верностью 0,95 составит:. 141,57 ±2,57·8,01, или 120,98≤ ур ≤162,16.

Пусть в примере с функцией издержек выдвигается предположение, что в предстоящем году в связи со стабилизацией экономики затраты на производство 8 тыс. ед. продукции не превысят 250 млн. руб. Означает ли это изменение найденной закономерности или затраты соответствуют регрессионной модели?

Точечный прогноз: = -5,79 + 36,84 • 8 = 288,93. Предполагаемое значение - 250. Средняя ошибка прогнозного индивидуального значения:

Сравним ее с предполагаемым снижением издержек производства, т.е. 250-288,93= -38,93:

Поскольку оценивается только значимость уменьшения затрат, то используется односторонний t~критерий Стьюдента. При ошибке в 5 % сn-2=5tтабл=2,015, поэтому предполагаемое уменьшение затрат значимо отличается от прогнозируемого значения при 95 % - ном уровне доверия. Однако, если увеличить вероятность до 99%, при ошибке 1 % фактическое значениеt-критерия оказывается ниже табличного 3,365, и различие в затратах статистически не значимо, т.е. затраты соответствуют предложенной регрессионной модели.