4.2. Динамические эконометрические модели

Теперь рассмотрим модели временных рядов, где в качестве исходных статистических данных мы располагаем наблюдениями двух временных рядовх₁, х₂,...,х_n и y₁, y₂,…, y_п.Целью регрессионного анализа в данном случае является построение линейной регрессионной модели, позволяющей с наименьшими ошибками прогнозировать значенияy_tпо значениямx_tдляt>n.

Подобные модели естественны в ситуациях, когда две переменные хиусвязаны так, что воздействия единовременного изменения одной из них (х) на другую (у) сказывается в течение достаточно продолжительного времени, т.е. наблюдается распределенный во времени эффект воздействия. В частности, такие связи возникают между регистрируемыми во времени входными и выходными характеристиками процессов накопления и распределения ресурсов (например, процессов преобразования доходов населения в его расходы) или процессов трансформации затрат в результаты (например, процессов воспроизводства основных доходов).

Эконометрическая модель является динамической, если в данный момент tона учитывает значения входящих в неё переменных, относящихся как к текущему, так и к предыдущим моментам времени, т.е. модель учитывает, отражает динамику исследуемых переменных в каждый момент времени.

Переменные, влияние которых характеризуется определенным запаздыванием, называются лаговыми переменными.

Классифицируются динамические модели по-разному. Один из вариантов классификации следующий:|

1. Модели с распределенными лагами.Они содержат в качестве лаговых переменных лишь независимые (объясняющие) переменные, например:

y=a+b₀ x_t+ b₁ x_t-1+…+ b_p x_t-p+ε_t. (15)

2. Авторегрессионные модели,уравнения которых включают в качестве объясняющих переменных лаговые значения зависимых переменных, например:

y=a+bx_t+c₁ y_t-1+ c₂ y_t-2 + ε_t. (16)

Рассмотрим модель (15), приняв, что р- конечное число. Модель говорит о том, что, если в некоторый момент времениtпроисходит изменениех, это изменение будет влиять на значениеyв течениеpпоследующих моментов времени. Коэффициентb₀называется краткосрочным мультипликатором,т.к. он характеризует изменение среднего значенияу при единичном изменениихв тот же самый момент времени.

Сумма называется долгосрочным мультипликатором;он характеризует изменениеу под воздействием единичного измененияхв каждом из моментов времени. Любая сумма называется промежуточным мультипликатором.

Относительные коэффициентымодели (15) с распределенным лагом определяются выражениями:

(17)

(условие нормировки имеет место, только если все b_jимеют одинаковые знаки). Значенияβ_j являются весамидля соответствующих коэффициентовb_j.Каждый из них измеряет долю общего измененияу,приходящегося на момент (t+j).

Средний лагопределяется по формуле средней арифметической взвешенной:

(18)

Он означает период, в течение которого происходит изменение результата от изменения х в моментt.Небольшая величина (18) означает быструю реакциюyна изменениех, высокое значение говорит о том, что воздействие фактораyбудет сказываться в течение длительного времени.

Медианный лаг- это величина лага, для которого

(19)

Это время, в течение которого с момента tбудет реализована половина общего воздействия фактора на результат.

Рассмотрим условный пример. Предположим, модель зависимости объёмов продаж компании от расходов на рекламу имеет вид:

Краткосрочный мультипликатор равен 4,5:. увеличение расходов на рекламу на 1 млн. руб. приводит к среднему росту продаж компании на 4,5 млн. руб. в том же периоде.

В момент (t+1) такой рост составит 4,5+3,0=7,5 млн. руб. в момент (t+2) -7,5+1,5=9 млн. руб. и т.д. долгосрочный мультипликатор равен 9,5. В долгосрочной перспективе (в течение 3 месяцев) увеличение расходов на 1 млн. руб. приведет к общему росту продаж на 9,5 млн. руб.

Относительные коэффициенты:

47,4% общего увеличения объёма продаж от роста затрат на рекламу происходит в текущем месяце, 31,6% - в следующем месяце и т.д.

Средний лаг равен :

(мес.)

- небольшая величина, поскольку большая часть эффекта роста затрат на рекламу проявляется сразу же. Медианный лаг в данном примере составляет чуть более 1 месяца.

Модель (15) можно свести к уравнению множественной регрессии через замены переменных:

|(20)

в результате получаем:

(21)

Однако применение обычного МНК затруднительно по следующим причинам:

1. Текущие и лаговые значениях тесно связаны между собой, что приводит к высокой мультиколлинеарности факторов.

2. При большой величине лага велико число параметров, что приводит к уменьшению числа степеней свободы.

3. Часто возникает проблема автокорреляции остатков.

Поэтому оценки параметров становятся неточными и неэффективными. Для получения более обоснованных оценок нужна информация о структуре лага. Эта структура может быть различной. На рисунке представлены некоторые её формы:

Если с ростом величины лага коэффициенты при лаговых переменных убывают, то имеет место линейная (или треугольная) структура лага (а), а также геометрическая структура (б).Возможны и другие структуры лага{вили г). Рассмотрим некоторые подходы к расчету лагов.

Лаги Алмон.Предполагается, что в модели (15) с конечной максимальной величиной лагарзначения коэффициентовb_j описываются полиномом k –й степени:

b_j=c₀+c₁ j+c₂ j²+…+c_k j^k. (22)

Каждый коэффициент, таким образом, запишется так:

b₀ =c₀,

b₁ =c₀ + c₁ +…+c_k,

b₂ =c₀+2c₁+…+2^k c_k, (23)

_…

b_p =c₀+p·c₁+…+p^kc_k.

Подставим эти соотношения в (15) и перегруппируем слагаемые, получим:

(24)

Обозначим суммы соответственно как новые переменные z₀, z₁, …, z_k,перепишем (24) в виде:

y_t= a +c₀ z₀ + c₁ z₁+ c₂ z₂ +…+ c_k z_k +ε_t. (25)

Параметры с_j определяются по МНК.

Достоинства метода:

1. Универсальность, применимость для моделирования процессов с разнообразными структурами лагов.

2. При малых k(2 или 3) можно построить модели с распределенным лагом любой длины.

Ограничения метода:

1. Величина pдолжна быть известна заранее. При этом приходится задавать максимально возможную величину лага. Выбор меньшего лага, чем его реальное значение, приведет к неверной спецификации модели, невозможности обеспечить случайность остатков, поскольку влияние значимых факторов будет выражено в остатках. Оценки параметров при этом окажутся неэффективными и смещенными. Включение в модель большей величины лага, чем его реальное значение, снижает эффективность оценок из-за наличия статистически незначимых факторов.

2. Необходимость установить степень полинома. Обычно принимают k=2или3по правилу: степень полиномаkдолжна быть на единицу больше числа экстремумов в структуре лага. В крайнем случаеkопределяется из сравнения моделей для различныхk.

3. Возможна мультиколлинеарность факторов z_j„ однако она сказывается здесь в меньшей степени, чем в модели (15).

Метод Койка.Этот метод применяется в модели с бесконечным лагом:

y_t= a +b₀ x_t + b₁ x_t-1+ b₂ x_t-2 +…+ε_t. (26)

Здесь обычный МНК применить нельзя. Для идентификации модели (26) предполагается, что параметры с увеличением лага убывают в геометрической прогрессии, т.е. с постоянным темпом λ(0,l):

y_t= a +b₀ x_t + b₀  x_t-1+ b₀ ² x_t-2 +…+ b₀ ^m x_t-m +…+ε_t (27)

Запишем выражение (27) для момента (t-1):

y_t-1= a +b₀ x_t-1 + b₀  x_t-2+ b₀ ² x_t-3 +…+ε_t (28)

Умножим (28) на λ и вычтем из (27):

y_t= a(1-λ) +b₀ x_t +  y_t-1 +ε_t – λ ε_t-1

или

y_t= a(1-λ) +b₀ x_t +  y_t-1 +u_t (29)

Это модель авторегрессии. Определив её параметры, находим λ,а, b₀исходной модели, а затем и параметрыb_j = λ^j b₀,j=1, 2, 3, .… Данная модель позволяет определить долгосрочный мультипликатори средний лаг

Теперь перейдем к рассмотрению авторегрессионых моделей.

Модель адаптивных ожиданий.Моделирование ожиданий является сложной задачей, поскольку фактор ожидания имеет качественную специфику. Например, инвестиции связаны не только с нормой процента, но и с ожиданиями инвесторов. Если в стране существенная безработица, то действия правительства в направлении стимулирования могут рассматриваться как позитивные, и это способствует инвестициям. Если экономика близка к полной занятости, то та же самая политика будет рассматриваться как ведущая к росту инфляции и приведет к падению инвестиционной активности.

Модель адаптивных ожиданий заключается в простой процедуре корректировки ожиданий, когда в каждый момент времени реальное значение переменной сравнивается с её ожидаемым значением. Если реальное значение оказывается больше, то ожидаемое в следующий момент значение корректируется в сторону его увеличения, если меньше - то в сторону уменьшения. Предполагается, что размер корректировки пропорционален разности между реальным и ожидаемым значениями переменной. Таким образом, основную идею можно записать формулой:

, (30)

где -значениех, ожидаемое в моментt (expected). Это выражение можно переписать в форме взвешенного среднего:

. (31)

Модель (30) и является моделью адаптивных ожиданий. Это выражение иногда называют моделью обучения на ошибках, т.к. ожидания экономических объектов складываются из прошлых ожиданий, поправленных на величину ошибки в ожиданиях, допущенных ранее.

При λ=0 ожидания являются статичными, неизменными, т.е..

При λ=1 ожидания реализуются мгновенно, т.е..

Чембольшеλ тем быстрее ожидаемое значение адаптируется к предыдущим реальным значениям переменной.

Долгосрочная функция модели адаптивных ожиданий записывается в виде:

. (32)

Подставим сюда выражение (31), получим:

(33)

Запишем его для (t-1).

(34)

Умножим (34) на (1-λ) и вычтем почленно из (32):

, (35)

где u_t =ε_t – (1 - λ) ε_t-1.

Это модель авторегрессии, в которой все переменные имеют фактические, а не ожидаемые значения. Модель в форме (35) называется краткосрочной функцией модели адаптивных ожиданий.

Модель неполной (частичной) корректировки.Здесь поведенческое уравнение определяет не фактическое значениеy_t, а её желаемый (целевой) уровень:

. (36)

Примером такой модели служит политика компаний относительно распределения дивидендов: прибыль расходуется частично на уплату дивидендов, частью на инвестиции. Когда прибыль увеличивается, дивиденды тоже растут, но не в той же пропорции (это объясняется желанием руководства фирмы в любом случае не уменьшать дивиденды, т.к. это ударяет по репутации фирмы).

В модели предполагается, что фактическое приращение зависимой переменной пропорционально разнице между её желаемым уровнем и значением в предыдущий период:

, (37)

(ν_t -случайный член). Это выражение можно переписать так:

, (38)

т.е. в форме взвешенного среднего. Чем больше λ, тем быстрее идет корректировка. Приλ=1 полная корректировка происходит за один период. Приλ=0 корректировка не происходит совсем.

Подставим (36) в (38), получим:

(39)

Это и есть модель частичной корректировки, которая также является моделью авторегрессии.

Несколько слов об оценке параметров уравнений авторегрессии. Рассмотрим уравнение:

(40)

Во всех рассмотренных выше моделях стоит проблема оценивания параметров. Обычный МНК чаще всего даёт смещенные и несостоятельные оценки, вследствие автокорреляции между случайными отклонениями ε_t, иε_t-1.у и корреляции междуy_t-1иε_t.

Один из возможных методов расчета параметров - метод инструментальных переменных, состоящий в замене у_t-1на новую переменную, которая тесно коррелирует су_t-1, но не коррелирует с остатками. Это можно сделать двумя способами.

1. Провести регрессию

, (41)

или

и подставить в уравнение авторегрессии, получаем:

, (42)

и далее применяем обычный МНК.

2. Подставим (41) в (40), получим модель с распределенным лагом:

, (43)

для которой не нарушаются предпосылки обычного МНК.