3.3. Оценивание параметров структурной модели

Коэффициенты структурной модели могут быть оценены равными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение получили два метода оценивания коэффициентов структурной модели: косвенный МНК и двухшаговый МНК.

Косвенный МНК(КМНК) применим в случае точно идентифицируемой структурной модели. Процедура следующая:

1. Структурная модель преобразуется в приведенную форму.

2. Для каждого уравнения приведенной формы обычным МНК оцениваются коэффициенты δ_ij

3. Коэффициенты приведенной модели трансформируются в параметры структурной модели.

Рассмотрим применение КМНК для модели:

Для построения модели имеем таблицу:

Приведенная форма модели имеет вид:

где и₁, и₂—случайные ошибки приведенной формы модели.

Для каждого уравнения приведенной формы применим традиционный МНК и определим

δ - коэффициенты. Для простоты работаем в отклонениях, т.е., .Тогда система нормальных уравнений для первого уравнения системы составит:

Для приведенных данных система составит:

Отсюда получаем первое уравнение ( и аналогично второе):

Перейдем к структурной форме следующим образом: исключим из первого уравнения приведенной формы х₂, выразив его из второго уравнения приведенной формы и подставив в первое уравнение:

Первое уравнение структурной формы:

Аналогично исключим из второго уравнения x₁выразив его через первое уравнение и подставив во второе:

- второе уравнение структурной формы.

Структурная форма модели имеет вид:

Эту же систему можно записать, включив в нее свободный член уравнения, т.е. перейти от переменных в виде отклонений от среднего к исходным переменным yиx:

Тогда структурная модель имеет вид:

Если к каждому уравнению структурной формы применить традиционный МНК, то результаты могут сильно отличаться. В данном примере будет:

Двухшаговый МНК. ДМНК используется для сверхидентифицируемых систем. Основная идея ДМНК: на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения. Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения. Здесь дважды используется МНК: на первом шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменнойи на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели по данным теоретических (расчетных) значений эндогенных переменных.

Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:

- все уравнения системы сверхидентифицируемые;

- система содержит также точно идентифицируемые уравнения.

В первом случае для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Во втором случае структурные коэффициенты для точно идентифицируемых уравнений находятся из системы приведенных уравнений.

Рассмотрим модель:

Она получена из предыдущего примера наложением ограничения b₁₂=a₁₁ Поэтому первое уравнение стало сверхидентифицируемым.

На первом шаге найдем приведенную форму модели. С использованием тех же исходных данных получим систему:

На основе второго уравнения этой системы можно найти теоретические значения для эндогенной переменной y₂, т.е. Подставим в это уравнение значениях₁их₂ в форме отклонений от средних значений, запишем в виде таблицы:

После того, как найдены оценки заменим в уравненииy₁=b₁₂(y₂+x₁)фактические значенияу₂их оценкаминайдем значения новой переменной . Применим МПК к уравнению:

y₁=b₁₂ z.

Получим:

В целом рассматриваемая система будет иметь вид:

Второе уравнение не изменилось по сравнению с предыдущим примером.

ДМНК является наиболее общим и широко распространенным методом решения системы одновременных уравнений. Для точно идентифицируемых уравнений ДМНК дает тот же результат, что и КМНК.