5. Геометрична інтерпретація задачі лінійного програмування.

Розглянемо на площині х₁Оx₂ сумісну систему лінійних нерівностей:

(2.9)

Кожна нерівність цієї системи геометрично визначає півплощину з граничною прямою a_i1x₁ + a_i2x₂ = b_i (i = 1, 2, ...,т). Умови невід’ємності змінних визначають півплощини з граничними прямими х₁ = 0 та х₂ = 0. Система сумісна, тому півплощини як опуклі множини, перетинаючись, утворюють спільну частину, що є опуклою множиною і являє собою сукупність точок, координати кожної з яких є розв’язком даної системи.

Сукупність цих точок (розв’язків) називають багатокутником розв’язків, або областю допустимих планів (розв’язків) задачі лінйного програмування. Це може бути точка (єдиний розв’язок), відрізок, промінь, багатокутник, необмежена багатокутна область.

Якщо в системі обмежень (2.9) буде три змінних, то кожна нерівність геометрично визначатиме півпростір тривимірного простору, граничними площинами котрого будуть a_i1x₁ + a_i2x₂ + a_i3x₃ = b_i (i = 1, 2, ...,т), а умови невід’ємності — півпростори з граничними площинами х_j = 0 (j = 1, 2, 3), де і — номер обмеження, а j — номер змінної. Якщо система обмежень сумісна, то ці півпростори як опуклі множини, перетинаючись, утворять у тривимірному просторі спільну частину, що називається багатогранником розв’язків. Він може бути точкою, відрізком, променем, багатокутником, багатогранником, багатогранною необмеженою областю.

Нехай у системі обмежень (2.9) кількість змінних більша, ніж три: х₁, х₂,… х_n; тоді кожна нерівність визначає півпростір n-вимірного простору з граничною гіперплощиною а_i1x₁ + a_i2x₂ + a_i3x₃ + … +a_inx_n = b_i (i = 1, 2, ...,т). Кожному обмеженню виду (2.9) відповідають гіперплощина та напівпростір, який лежить з одного боку цієї гіперплощини, а умови невід’ємності — півпрос­тори з граничними гіперплощинами х_j = 0 (j = 1, 2, 3, ..., n).

Якщо система обмежень сумісна, то за аналогією з тривимірним простором вона утворює спільну частину в n-вимірному просторі — опуклий багатогранник допустимих розв’язків.

Отже, геометрично задача лінійного програмування являє собою відшукання координат такої точки багатогранника розв’яз­ків, при підстановці яких у цільову лінійну функцію остання набирає максимального (мінімального) значення, причому допустимими розв’язками є усі точки багатогранника розв’язків.

Цільову функцію

в п-вимірному просторі основних змінних можна геометрично інтерпретувати як сім’ю паралельних гіперплощин, положення кож­ної з яких визначається значенням параметра Z.Критерієм оптимальності є максимізація прибутку.

Ст 40