4.4. Гетероскедастичность

Для применения МНК необходимо, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной (3 условие Гаусса - Маркова), то есть дисперсия должна быть постоянной и не зависеть от номера наблюдения (E( )=V( )= – не зависит от j, j=1…n).

В случае, когда это условие не выполняется, то имеет место гетероскедастичность. На практике гетероскедастичность в моделях встречается достаточно часто, что приводит к получению неэффективных оценок регрессии.

При малом размере выборки для оценки гетероскедастичности используют тест Голдфельда – Куандта.

Данный тест можно применять при предположении о прямой зависимости дисперсии ошибки от величины некоторого регрессора (х).

Алгоритм проверки:

1) упорядочить статистические данные (n наблюдений) по убыванию той независимой переменной, относительно которой есть подозрение на гетероскедастичность (х);

2) исключить d средних наблюдений, где (n-d):2>m, m –число регрессоров в модели (для простоты можно взять d=1/4 от общего количества наблюдений);

Замечание: если число наблюдений четное число, то и d должно быть четным. Например, если n=36, то d=n/4=9, в данном случае берем d=10 и делим оставшуюся совокупность данных на две равные группы (36-10) / 2= 13).

3) построить по двум полученным группам уравнения регрессии (первая группа: первые n/2–d/2 наблюдения, вторая группа: последние n/2–d/2 наблюдения), рассчитать для них остатки e₁ и e_2, где ;

4) составить статистику (4.4.1)

где - транспонированный столбец вектора ошибок;

Замечание: транспонированная матрица получается путем замены в исходной матрице А строк на столбцы.

В MS Excel можно использовать функцию ТРАНСП

5) проверить гипотезу Н₀: ₁² = ₂² = …= _n² о постоянстве дисперсии с помощью критического значения F – статистики Фишера с (n/2–d/2–m, n/2–d/2–m) степенями свободы, которые можно рассчитать в MS Excel c помощью функции FРАСП.

Если , то гипотеза о гетероскедастичности подтверждается.

Если , то гипотеза о гетероскедастичности отвергается.

В случае подтверждения гипотезы о гетероскедастичности для поиска оценок коэффициентов регрессии могут применяться следующие методы:

- обобщенный метод наименьших квадратов;

- обычный метод наименьших квадратов, если оценки ошибок представлены в форме Уайта или Невье – Веста.

В случае наличия в модели гетероскедастичности, оценки, полученные МНК, являются неэффективными. Для получения более эффективных оценок применяют следующую процедуру:

1) оценивается исходный ряд методом наименьших квадратов, получаем уравнение регрессии;

2) ряд исследуемых данных условно делится на 2 равные совокупности: первая совокупность от 1 до t, вторая совокупность от t+1 до n;

3) предполагается, что , (4.4.2)

;

4) по первым t наблюдениям вычисляется модельное значение , вычисляется вектор остатков , за оценку берут

(4.4.3)

где m – число регрессоров в уравнении;

4) аналогично по последним (n-t) наблюдениям вычисляется вектор остатков , за оценку берут

(4.4.4)

5) преобразуем исходную модель, полученную МНК путем деления первых t уравнений на , а последних (n-t) уравнений на ;

6) из полученной модели находим более эффективнее оценки МНК – оценки коэффициентов.