2.2 Модель Блэка-Шолза

Модель Блэка-Шолза, предназначенная для расчета премии опционов, была выведена в 1973 году, и называется «Ценообразование опционов и корпоративные обязательства». Формула разработана тремя экономистами - Фишером Блэком, Майроном Скуолзом и Робертом Мертоном - это самая известная в мире модель ценообразования опционов, которая строится на предположении о том, что процесс изменения цен рисковых активов является винеровским.

Модель Блэка-Шоулза используется для расчёта теоретической цены европейских опционов, игнорируя любые дивиденды, выплаченные в течении существования опциона. Именно поэтому, модель может быть адаптирована для учета дивидендов путем определения стоимости экс-дивиденда на ценную бумагу. Халл Джон К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. - М.: Вильямс, -2007, - 1056 с.

Ее построение основывается на следующих предпосылках:

· торговля активами производится в непрерывном времени;

· безрисковая процентная ставка r постоянна и одинакова для всех сроков погашения;

· рынок эффективен;

· по акциям не выплачиваются дивиденды;

· все активы и их производные свободно продаются и покупаются, нет возможности арбитража. Цена актива изменяется случайным образом, но колебания достаточно слабые, что позволяет использовать нормальное распределение. Однако кривая нормального распределения симметрична относительно центральной оси, то есть имеет положительные и отрицательные области, хотя цена акции не может опуститься ниже нуля. Более того, нормальное распределение предполагает равную вероятность подъема и снижения цены, а в реальной жизни инфляция приводит к постепенному росту. Поэтому в модель вводится распределение натурального логарифма доходности акции. Кривая логнормального распределения положительна и имеет правостороннюю скошенность (вероятность повышения цены). Формула Блэка-Шоулза имеет следующий вид:

C=SN(d₁)- N(d₂)Ke^-rt,

d₁=, d₂=d₁-,

C - предварительная премия

S- текущий курс акций

t- время до применения опциона

K- цена использования опциона

r- без рисковая процентная ставка

N- совокупное стандартное нормальное распределение

e- экспонента

^s- стандартное отклонение.

Модель по существу разделена на две части: первая часть, SN (d1), умножает цену изменения на предварительную премию по отношению к изменению базовой цены. Это часть формулы показывает ожидаемую пользу приобретения базового актива. Вторая часть, N (d2) Ke^(-rT), демонстрирует текущее значение страйк-цены (цена, по которой владелец опциона может купить или продать ценную бумагу или другой актив, лежащий в основе опционного контракта) по истечению времени. Стоимость опциона рассчитывается как разность между двумя частями, как показано в уравнении.

2.3 Скачкообразная-дифузионная модель

В отличие от основных моделей ценообразования, которые вызываются случайными процессами с дальнейшими непрерывными траекториями, скачкообразные процессы используются в финансах, что бы проиллюстрировать скачкообразное поведение в ценообразовании активов. Shengkun Xie. Markov switching and jump diffusion models with applications in mathematical finance //Wilfrid Laurier University. -2006, -84 p.

Основоположником данной модели является Роберт С. Мертон, которые вывел ее, расширив скачкообразную модель. Скачкообразная диффузионная модель является одним из видов модели использующихся для определения стоимости опциона. Он смешивает два метода ценообразования: более традиционные диффузионные модели, в которых факторы играют в гладкой и относительно последовательной манере, а также модели со скачкообразным процессом, в котором единичные события могут вызвать значительные изменения. Теория состоит в том, что скачкообразная диффузионная модель, таким образом, создает более реалистичное представление о поведении рынков. Он пытается охватить идею, что рынки имеют сочетание общих тенденций, незначительных изменений изо дня в день и крупных потрясений.

Скачкообразная диффузионная модель являются частными случаями экспоненциальной модели Леви, в которых частота прыжков конечна. Их можно рассматривать в качестве прототипов для большого класса более сложных моделей, таких как стохастическая волатильность и скачкообразная модель Bates. В.А. Гальперин, В.В. Домровский. Динамическое управление инвестиционным портфеле диффузионно-скачкообразном финансовом рынке с переключающимися режимами / Автоматика и телемеханика - 2005, - №5, -С. 175-188.

Рассмотрим рынок без рисковых акций (облигаций) и один рисковый актив (акция), цена которого в момент времени t обозначается S_t. В скачкообразной модели, стохастическое дифференциальное уравнение для котировки данных выражается как:

dS_t=мS_t- dt+уS_t-dZ_t+S_t-dJ_t,

где Z_t это Броуновское движение и J_t=?Y_i это процесс Пуассоновского распределения, в котором размеры скачок Yi независимы и одинаково распределены с распределением F и количества скачков N_t представляет собой процесс Пуассона с интенсивностью прыжка ?. Цена актива S_t таким образом следует за геометрическим Броуновским движением между скачками. Процесс моделирования Монте-Карло может осуществляться путем первой имитации количества переходов Nt, времени прыжка и имитации геометрического броуновского движения на интервалах между прыжками. Стохастическое дифференциальное уравнение имеет точное решение:

S_t=S₀ exp {мt+уZ_t-у²t/2+ J_t}.

Мертон рассматривает случай, где размер скачка Y_i задается нормальным распределением.

Последнее десятилетие, научно-исследовательские отделы крупных банков начал принимать скачкообразную диффузионную модель как ценный инструмент в их ежедневном моделировании.