1.4 Анализ диффузионной модели:

а) Проверка идентичности размерностей различных слагаемых в уравнении диффузии;

б) Анализ математического типа уравнения в диффузионной модели;

Типы уравнений: эллиптические, гиперболические, параболические.

- уравнение в частных производных

С=С(x,t). D=const

U=U(x,y)

Дискриминант = B²-4AC

Если Д=0 – параболический тип уравнения

Д>0 – гиперболический

Д<0 – эллиптический

А=D

B=0

C=0

B²-4AC=0-0=0 => параболическое уравнение.

в) Описание краевых задач, имеющих аналитическое решение:

— Для точечного диффузионного источника (модель диффузии с постоянной дозой); качественный вид решения для трех временных моментов;

Уравнение диффузии (первый закон Фика):

Область моделирования:

Начальные условия:

t=0

Граничные условия:

x=0

условие отражения на левой границе

на правой границе:

x→∞

C(∞;t)=0

Количество внедренной примеси Q(t) – доза- за время загонки t задается интегралом:

Решением этой краевой задачи является уравнение Гаусса:

— Для диффузионной загонке примеси с постоянной поверхностной концентрацией; качественный вид решения для трех временных моментов;

Уравнение диффузии (первый закон Фика):

Область моделирования:

Граничные условия:

при x→0

при x→∞

Начальные условия:

t=0

Решением этой краевой задачи будет дополняющая функция ошибок erfc(x)

-График спец. функций erf(z) и erfc(z) с описанием их математических свойств.

В математике функция ошибок (функция Лапласа) — это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как

.

Дополнительная функция ошибок, обозначаемая  определяется через функцию ошибок:

.

НО! В нашем случае концентрации по смыслу не могут зависеть от отрицательного аргумента, значит, графики будут выглядеть так:

Свойства:

• Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:

для

при

-Расчет дозы легирования и поверхностной концентрации для случаев:

а) распределения примеси по Гауссу;

б) распределения примеси по erfc(z);

а) Для случая распределения примеси по Гауссу

Распределение примеси по Гауссу имеет вид:

Найдем внедренную дозу , проинтегрировав концентрацию примеси по всей области моделирования:

Этот интеграл является табличным Гауссовым интегралом

Значит,

Внедренная доза является константой.

Поверхностная концентрация находится из условия:

Отсюда видно, что поверхностная концентрация примеси уменьшается со временем, что и характерно для диффузии примеси из точечного источника.

б) Для распределения по

Распределение примеси по erfc имеет вид:

Вся доза поступает непосредственно через границу вещества в точке , её можно найти проинтегрировав по всему промежутку времени поток внедряемой примеси через эту границу.

Найдем выражение для потока:

Подставим поток и проинтегрируем:

При бесконечном источнике, внедренная доза является функцией времени.

г)Задача с неоднородными начальными условиями

Под неоднородными условия подразумевается то, что изначально пластина не является чистой.

Начальные условия:

С^’ (x,0)=0

Граничные условия:

С^’(0,t)=C_s – C₀ ( пластина легирована на поверхности)

С^’=(C_s – C₀)*erfc

Частный случай: Cs = 0 (пластина легирована однородно), в таком случае задача сводиться к задаче с однородными условиями.

Примись отходит от границы