Глава 2. Стохастические модели

Стохастическая модель - это способ финансового моделирования, в котором одна или более переменных в модели имеют стохастическую природу, то есть представляют собой случайный процесс. Следовательно, решением уравнения также оказываются стохастические процессы. В основе стохастического уравнения лежит Броуновское движение.

Он широко используется для прогнозирования того, как фондовые рынки, облигации и свитки будет действовать в будущем. Статистическое моделирование является средством оценки вероятности исходов и предсказания условий в различных ситуациях. Используемые случайные величины, как правило, ограничены историческими данными, такими как последние рыночные доходы. К примеру, при использовании модели в оценке портфеля, несколько моделирований представления портфеля делаются на основе вероятностных распределений отдельных доходностей акций. Статистический анализ результатов может помочь определить вероятность того, что портфель будет предоставлять нужную производительность. Главная цель статистического исследования - узнать свойства популяции по свойствам выборки. Например, сделать прогноз - это значит узнать вероятностное распределение будущих наблюдений популяции по выборке значений из прошлого. Чтобы сделать это, нам необходимо уметь описывать стохастические процессы и временные ряды и знать классы стохастических моделей, пригодных для описания встречающихся на практике ситуаций. Сторонники стохастического моделирования утверждают, что случайность является фундаментальным характеристикой финансовых рынков.

Статистическое моделирование обеспечивает структурированный способ изучения портфеля, с учетом случайных факторов, таких как инфляция или терпимости к риску. Если моделирование показывает низкую вероятность достижения инвестиционных целей, фонд может быть диверсифицированы или уровни взносов изменены.

Статистическое моделирование представляет собой метод представления данных или прогнозирования результатов, учитывающий определенную степень случайности или непредсказуемости. Рынок страховых услуг, например, во многом зависит от стохастического моделирования для прогнозирования будущего состояния компании балансах, так как они могут зависеть от непредсказуемых событий, приводящих к оплате претензий. Многие другие отрасли и области исследования могут извлечь выгоду из стохастического моделирования, таких как статистика, фондовых инвестиций, биологии, лингвистики, и квантовой физики.

Особенно в мире страхования, стохастическое моделирование имеет решающее значение в определении того, какие можно ожидать результаты, и какие вряд ли могут произойти. Вместо того чтобы использовать фиксированные переменные, как в других математических моделях, стохастические включают в себя случайные изменения чтобы предсказать будущие условия и посмотреть, какими они могут быть. Конечно, возможность одного случайного изменения означает, что возможно много исходов. По этой причине, стохастические процессы работают не один раз, а сотни или даже тысячи раз. Большой сбор данных не только выражает возможные результаты, но и ожидаемые колебания.

Другой реальное применение стохастического моделирования, помимо страхования, является производство. Производство рассматривается как стохастический процесс из-за эффекта, как неизвестные или случайные величины могут влиять на конечный результат. Например, завод, который делает определенный продукт всегда знает, что небольшой процент из продуктов не выходят, как задумано, и не могут быть проданы. Это может быть связано с целым рядом факторов, таких как качество входов, рабочее состояние производственного оборудования, а также компетентности сотрудников, и многое другое. То, как эти факторы влияют на результаты, могут быть смоделированы, чтобы предсказать определенный коэффициент ошибок в производстве, для планировки производства.

2.1 Метод Монте-Карло

Статистическое моделирование опирается на метод Монте-Карло Моделирование и управление в экономике (часть 1)/ Е. Б. Цой, И. В. Самочернов. - Новосибирск: НГТУ, -2003, - 104 с., для генерации случайных чисел, на которых применяются стохастические формулы. Это показывает, какое влияние конкретные случайные события будут иметь на распределение вероятных исходов. Возможность моделирования случайных величин и процессов может быть использована для моделирования реальных явлений и ситуаций. При этом наблюдение небольшого числа реализаций случайной величины вряд ли принесет пользу, но наблюдение за большим их числом позволяет сделать правильные выводы об их средних характеристиках. Такой подход лежит в основе метода Монте-Карло, который использует различные предельные соотношения теории вероятностей:

* закон больших чисел;

* предельные теоремы.

Метод Монте-Карло имеет четыре основных этапа:

1. Определение диапазона возможных входов

2. Генерирование случайного входа из домена

3. Выполнение детерминированных вычислений, используя эти входы

4. Агрегирование результатов отдельных вычислений.