Раздел 1. Excel для экономистов Простые и сложные проценты Простые проценты

Простые проценты применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления, как правило, менее одного года (месяцы или дни).

Введем обозначения:

P - капитал или величина первоначальной денежной суммы, с которой заёмщик платит % заимодателю.

S - наращенная сумма.

I - процентный платёж, сумма процентных денег или доход, получаемый кредитором от заемщика за пользование денежной ссудой (за кредит, по вкладам в банке и т.д.)

i(%) – процентная ставка, показывает, сколько денежных единиц должен заплатить заемщик за пользование 100 единицами капитала в определенном периоде времени.

n - продолжительность периода начисления в годах.

d - продолжительность периода начисления в днях.

m - продолжительность периода начисления в месяцах.

Сущность простых процентов заключается в том, что они начисляются на одну и ту же величину капитала в течение всего срока ссуды.

Рассмотрим основную пропорцию, характеризующую простые проценты:

(1)

Далее, для того, чтобы упростить, записи будем рассматривать, не ставку, выраженную в процентах, а относительную величину ставки процентов.

Например: годовая ставка – 20%, тогда относительная величина ставки процентов

Равенство (1) можно записать в виде

Отсюда I=Pin

Наращенная сумма S через n лет при простой процентной ставке i составит

S=P(1+in) (2)

Если n=1, то I=Pi.

Так как в году 12 месяцев, то можно найти процентный платеж за один месяц:

а для m – месяцев процентный платёж составит (3)

Аналогично можно определить однодневный платеж, но в практике встречаются два случая:

а) величина расчетного года принимается за 360 дней, тогда

- такие проценты называют обыкновенными.

б) величина расчетного года принимается за 365 (366) дней, тогда

- такие проценты называются точными.

И, значит, для d – дней процентный платёж составит:

(4) или (4¹)

В РФ используются как точные, так и обыкновенные проценты. Наращенная сумма

(5) или (5¹)

становится разной в зависимости от особенностей определения d или продолжительности ссуды.

Количество дней d можно определить:

- точным методом;

- приближенным методом.

Точный метод определения количества дней пользования ссудой состоит в следующем. Определяется фактическое число дней между двумя датами – выдачи ссуды и возврата долга.

Приближенный метод – d определяется количеством месяцев по 30 дней каждый и дней ссуды.

При точном и приближенном методе дата выдачи и дата погашения ссуды принимаются за один день.

База времени может учитываться тремя способами:

1. год условно принимается за 360 дней, а месяц – 30 дней.

2. учитывается точное число дней, на которые выдана ссуда (дни определяются по календарю или таблице), считается, что год 360 дней.

3. учитывается точное число дней, на которые выдана ссуда, и считается, что в году 365 дней.

Задача 1. Капитал величины 1000 рублей вложен в банк под 6% годовых. Какова величина вклада через 120 дней?

Задача 2. Определить простую ставку процента, при которой первоначальный капитал в размере 30 млн. рублей достигнет 40 млн. рублей через 80 дней, если продолжительность года в днях – 365 дней.

Сложные проценты.

В отличие от простых процентов, где процентный платеж начисляется на одну и ту же величину капитала в течение всего времени расчетов, в сложных процентах процентный платеж в каждом расчетном периоде добавляется к капиталу предыдущего периода, а процентный платеж в последующем периоде вычисляется уже на эту наращенную величину первоначального капитала. Этот способ называют иногда вычислением «процента на процент»

Существует два способа вычисления сложных процентов:

- декурсивный (последующий);

- антисипативный (предварительный)

Если процентный платеж начисляется и добавляется к капиталу в конце каждого расчетного периода, то это декурсивное начисление.

Если первоначальная сумма (капитал) равен P, то в конце первого года сумма составит: P(1+i).

В конце второго года P(1+i)² и т.д.

В конце через n лет наращенная сумма S будет равна:

, (6)

Из формулы (6) можно найти относительную процентную ставку i:

(7)

Процентная ставка, выраженная в процентах, составит:

(7¹)

Из формулы (6) можно определить длительность расчетного периода n. (8)

Если процентный платеж начисляется в начале каждого расчетного периода – это антисипативное начисление процентов.

Рассмотрим, на какую сумму возрастет первоначальная сумма (капитал) P через n лет при q сложной годовой учетной ставке. Далее будем считать, что q относительная величина годовой учетной ставки.

Первоначальную сумму P в начале расчетного периода можно представить как разницу между суммой S₁ в конце первого расчетного периода и процентным платежом на эту сумму S₁: P=S₁-S₁q=S₁(1-q),

тогда .

Аналогично, S₁=S₂-S₂q=S₂(1-q), и т.д.

В конце n-го года, т.е. после n –периодов начисления процентов, получаем: (9)

При антисипативном расчете получается больший доход, чем при декурсивном расчете. Из формулы (9) следует, что для периодов начисления, превышающих один год, учетная ставка может принимать значения только строго меньшие (т.е. не достигающие) 100%.

Если окажется, что в году m- число расчетных периодов, то при декурсивном способе расчета (из формулы (6)) получим:

, (6¹)

а при антисипативном способе расчета (из формулы (9)) получаем:

(9¹)

Задача 1. В банк вложена сумма в размере 10000 рублей под 8% годовых. Найти сумму вклада через 10 лет, если расчетный период:

а) год;

б) 6 месяцев.

Задача 2. Через сколько лет вклад в размере 10000 рублей при ставке 40% годовых станет равным 38400 рублей, проценты начисляются один раз в год?

Задача 3. Вклад в размере 25000 рублей через 8 лет стал равным 76500 рублей. Найти ставку процента.

Задача 4. Предоставлен кредит в размере 70000 рублей на срок 1,5 года. Найти сумму возврата кредита, если наращение процентов производится по сложной годовой учетной ставке 20% годовых.