1.3 Примеры построения простейших моделей математического

программирования

Задача 1.1 На участке лесо-паркового массива города требуется выполнить четыре вида мероприятий. Для их проведения используются три вида материалов и денежные средства. Затраты ресурсов на 1 га проведения мероприятий и коэффициенты относительной полезности мероприятий приведены в таблице 1.1.

Таблица 1.1 – Удельные затраты ресурсов на проведение мероприятий

Максимально допустимый объем первого мероприятия равен 100 га.

Требуется составить такой план мероприятий, при котором критерий полезности будет максимальным.

Составим математическую модель задачи. Обозначим неизвестные:

x_1, x₂, x₃, x₄ – объемы мероприятий (га) 1-го – 4-го видов соответственно;

Z – суммарная полезность проведения мероприятий.

Z = 0.6∙x₁+0.7∙x₂+0.6∙x₃+0.5∙x₄ → max (1.7)

Ограничения на материалы:

0.6∙x₁+0.4∙x₂+0.5∙x₃+0.3∙x₄ ≤ 300; (1.8)

0.5∙x₁+0.4∙x₂+0.4∙x₃+0.6∙x₄ ≤ 400; (1.9)

0.5∙x₁+0.4∙x₂+0.6∙x₃+0.5∙x₄ ≤ 500. (1.10)

Ограничение на денежные средства:

40∙x₁+50∙x₂+60∙x₃+40∙x₄ ≤ 26000. (1.11)

Ограничение на объем проведения первого мероприятия.

x₁ ≤ 100. (1.12)

Модель (1.7)-(1.12) относится к математическим моделям линейного программирования.

Задача 1.2. Агро-мелиоративная фирма имеет 1500 га орошаемой пашни; 700000 человеко-часов трудовых ресурсов; дождевальную технику общей производительностью 8000машино-часов рабочего времени за сезон; денежные средства на текущие производственные затраты 650000 денежных единиц (ден. ед.). На участок бригады может быть подано оросительной воды не более 2800 тыс. м³ воды за сезон.

В таблице 1.2 даны характеристики вариантов технологии выращивания культур на орошаемом массиве бригады: затраты и выход чистого дохода на 1 га овощей, кукурузы на зерно и сахарной свеклы.

Таблица 1.2 – Нормативы затрат и выхода продукции

-------------------------------------------------------------¬

¦Культуры и¦ Нормативы затрат и выхода продукции на 1 га ¦

¦технологии+-------------------------------------------------+

¦их выращи-¦ затраты ¦ затраты ¦ затраты ¦ текущие ¦ выход ¦

¦вания ¦ воды, ¦ труда, ¦ дождева- ¦ затраты,¦ чистого¦

¦ ¦ тыс. м³ ¦ чел.-ч. ¦ льной ¦ ден. ед.¦ дохода,¦

¦ ¦ ¦ ¦ техники ¦ ¦ден. ед.¦

+----------+---------+---------+----------+---------+--------+

¦ОВОЩИ: ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦

¦без полива¦ 0 ¦ 300 ¦ 0 ¦ 600 ¦ 200 ¦

¦2 полива ¦ 2 ¦ 320 ¦ 6 ¦ 600 ¦ 450 ¦

¦КУКУРУЗА ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦

¦НА ЗЕРНО: ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦

¦1 полив ¦ 0,8 ¦ 80 ¦ 2 ¦ 230 ¦ 300 ¦

¦2 полива ¦ 1,6 ¦ 90 ¦ 4 ¦ 260 ¦ 350 ¦

¦САХАРНАЯ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦

¦СВЕКЛА: ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦

¦1 полив ¦ 1 ¦ 210 ¦ 3 ¦ 330 ¦ 250 ¦

¦3 полива ¦ 3,5 ¦ 225 ¦ 8 ¦ 400 ¦ 400 ¦

+----------+---------+---------+----------+---------+---------

Необходимо определить такую структуру посевных площадей на орошаемом массиве и выбрать такие варианты технологии выращивания культур, при которых фирма, используя свои ресурсы, получит максимум чистого дохода.

Запишем математическую модель задачи.

x1 - площадь (га) овощей без полива;

x2 - площадь (га) овощей с двумя поливами;

x3 - площадь (га) кукурузы с одним поливом;

x4 - площадь (га) кукурузы с двумя поливами;

x5 - площадь (га) свеклы с одним поливом;

x6 - площадь (га) свеклы с тремя поливами;

Целевая функция имеет смысл чистого дохода.

max Z= 200∙x1 + 450∙x2 + 300∙x3 + 350∙x4 + 350∙x5 + 400∙x6.

Огpаничения:

- на площадь пашни

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≤ 1500;

- на трудовые ресурсы

300∙x1 + 320∙x2 + 80∙x3 + 90∙x4 + 210∙x5 + 225∙x6 ≤ 700000;

- на затраты времени дождевальной техникой

0∙x1 + 6∙x2 + 2∙x3 + 4∙x4 + 3∙x5 + 8∙x6 ≤ 8000;

- на текущие затраты

600∙x1 + 600∙x2 + 230∙x3 +260∙x4 + 330∙x5 + 400∙x6 ≤ 650000;

- на затраты воды

2∙x2+ 0.8∙x3 +1.6∙x4 + x5 + 3.5∙x6 ≤ 2800.

Получена математическая модель линейного программирования.

Задача 1.3. Имеется три орошаемых участка площадью по 100га, разные по производственным характеристикам. Для каждого участка задана функция дополнительного урожая от объема подаваемой оросительной воды:

,

,

,

где у_i - дополнительный урожай, т; - водоподача на участок в сотнях

тыс. м³.

Цена одной тонны урожая равна 100 ден. ед. Дополнительные затраты, связанные с орошением, в денежных единицах на 1000 м³ по каждому участку соответственно равны 6, 12 и 10. Суммарное количество воды, подаваемой на все три участка, ограничено и равно 37 сотен тысяч м³.

Найти оптимальное распределение воды по участкам. Критерий оптимальности – максимум дополнительного чистого дохода в сумме по трем участкам.

Построим математическую модель задачи. Введем следующие переменные:

количество воды, поданной на первый участок в сотнях тыс. м³;

–количество воды, поданной на второй участок в сотнях тыс. м³;

–количество воды, поданной на третий участок в сотнях тыс. м³.

Выпишем математическую модель оптимизации водораспределения с учетом дополнительных затрат, связанных с орошением.

Целевая функция выражает дополнительный чистый доход от орошения участков:

,

. (1.13)

Ограничение на водные ресурсы:

(1.14)

. (1.15)

Задача (1.13)-(1.15) относится к моделям нелинейного программирования.