2.6 Проверка гипотезы об отсутствии гетероскедастичности в остатках третьего уравнения регрессии

Если остатки регрессии являются н.о.р. (независимыми и одинаково распределенными) остатками, то по теореме Гаусса-Маркова [ Эконометрика. Начальный курс (7-ое издание). Катышев П.К., Магнус Я.Р., Пересецкий А.А. М.:Дело, 2005.] применение метода наименьших квадратов (МНК) приводит к состоятельным и эффективным оценкам коэффициентов регрессии.

Предположение о н.о.р. несправедливо, если остатки регрессии не распределены одинаково или независимо (или то и другое).

“Когда дисперсия остатков регрессии, условная по регрессорам, изменяется по наблюдениям, то предположение об одинаковом распределении остатков “регрессии” несправедливо.

Это явление, известное как гетероскедастичность (остатки регрессии статистически могут быть зависимы и имеют неравные дисперсии), противоположна гомоскедастичности (остатки регрессии независимы и имеют равные дисперсии).

В случае справедливости предположения нормальности и однородности распределения остатков регрессии предполагается, что остатки условно гомоскедастичны: о дисперсии ошибок в регрессорах у нас нет никакой информации.

Если справедливо предположение о нулевом условном среднем, , но остатки регрессии не являются н.о.р. остатками, то применение МНК все еще приводит к состоятельным оценкам коэффициентов регрессии, но они являются неэффективными.

В этом случае выборочное распределение оценок коэффициентов регрессии асимптотически (для больших выборок) все еще будет подчиняться нормальному закону распределения со средним значением в точке истинных значений коэффициентов, но оцененная ковариационная матрица оценок коэффициентов регрессии, не будет являться состоятельной оценкой”. [ Путеводитель по современной эконометрике. Вербик М. Пер. с англ. В.А. Банников. Научн. ред. и предисл. С.А. Айвазян. - М.: Научная книга, 2008. - 616с. "Библиотека Солев";]

Теперь с помощью теста Бреуша-Пагана-Годфрея [2] (Breusch-Pagan-Godfrey) проверим нулевую гипотезу о гомоскедастичности остатков третьего уравнения регрессии (остатки регрессии имеют равные дисперсию).

Вместе со значениями этих двух статистик в пакете Eviews также приводится значение F-статистики. (Для теста на избыточность состава переменных во вспомогательной регрессии).

Вывод в пакете Eviews результатов тестирования остатков третьей регрессии по Бреушу-Пагану-Годфрею для проверки нулевой гипотезы отсутствия гетероскедастичности против альтернативной гипотезы присутствия гетероскедастичности представлен в таблице 6.

Значение основной ЛМ-статистики Бреуша-Пагана-Годфрея, обозначенное в верхнем блоке вывода в пакете Eviews как Scaled explained SS, равно 41,39 с p-значением, равным нулю.

Две другие вспомогательные статистики F-статистика и статистика Кроенкера [ Основы эконометрики. Прикладная статистика. С.А. Айвазян, В.С. Мхитарян. М.: Юнити 2001] (в выводе пакета Eviews в таблицы 5 они помечены как F-statistic и Obs*R-squared), которые представлены для сравнения, также имеют соответствующие p-значения.

Таблица 7. Результат тестирования остатков на гетероскедастичность.

В нижнем блоке вывода в таблице 7 представлены результаты оценивания соответствующей вспомогательной регрессии, необходимой для вычисления значений трех названных статистик.

P-значение основной ЛМ-статистики Бреуша-Пагана-Годфрея, равное нулю, говорит нам о том, что нулевую гипотезу отсутствия гетероскедастичности следует отклонить. Таким образом, принимается альтернативная гипотеза о наличие гетероскедастичности в остатках регрессии третьего уравнения.

Тест показывает практическое присутствие гетероскедастичности, хотя и слабой (R-squared =0.3), но объясняющим переменным.

Для объяснения зависимой переменной продажная стоимость автомобиля третье уравнение регрессии выбрано нами как “наилучшее”.

Переоценку коэффициентов регрессии с помощью взвешиваной регрессии этом случае я считаю ненужной, потому, что гетероскедактичность слаба, а оценки все равно состоятельны и несмещенные.