Тест серий. Статистика Дарбина – Уотсона.

Начнем с частного случая, в котором автокорреляция подчиняется авторег­рессионной схеме первого порядка:

.

Это означает, что величина случайного члена в любом наблюдении равна его значению в предшествующем наблюдении (т. е. его значению в период t — 1), умноженному на ρ, плюс новый e_t,. Данная схема оказывается авторегрес­сионной, поскольку e определяется значениями этой же самой величины с запаздыванием, и схемой первого порядка. В этом простом случае максимальное запаздывание равно единице. Предполагается, что значение e в каждом наблюдении не зависит от его значений во всех других наблюдениях. Если ρ положительно, то автокорреляция положительная; если ρ отрицатель­но, то автокорреляция отрицательная. Если ρ = 0, то автокорреляции нет и третье условие Гаусса—Маркова удовлетворяется.

Широко известная статистика Дарбина—Уотсона (d илиDW) определяется следу­ющим образом:

Можно показать, что в больших выборках

d→2-2ρ

Если автокорреляция отсутствует, то ρ= 0, и поэтому величина d должна быть близкой к двум. При наличии положительной автокорреляции величина d, вооб­ще говоря, будет меньше двух; при отрицательной автокорреляции она, вообще говоря, будет превышать 2. Так как ρ должно находиться между значениями 1 и — 1, то d должно лежать между 0 и 4.

Критическое значение d при любом данном уровне значимости зависит, как можно предполагать, от числа объясняющих переменных в уравнении регрес­сии и от количества наблюдений в выборке. К сожалению, оно также зависит от конкретных значений, принимаемых объясняющими переменными. Поэто­му невозможно составить таблицу с указанием точных критических значений для всех возможных выборок, как это можно сделать для t- и F-статистик; но можно вычислить верхнюю и нижнюю границы для критического значения d. Для положительной автокорреляции они обычно обозначаются как d_v и d_L.

На рис. данная ситуация представлена в виде схемы; стрелка указывает критический уровень d, который обозначается как d . Если бы мы знали зна­чение d_крит, то могли бы сравнить с ним значение d, рассчитанное для нашей регрессии. Если бы оказалось, что d> d_крит, то мы не смогли бы отклонить ну­левую гипотезу от отсутствии автокорреляции. В случае d<d_крит мы бы откло­нили нулевую гипотезу и сделали вывод о наличии положительной автокор­реляции

Тест Дарбина—Уотсона на автокорреляцию

(показана зона неопределенности в случае предполагаемой

положительной автокорреляции)

Вместе с тем мы знаем только, что d_криm находится где-то между d_L и d_U. Это предполагает наличие трех возможностей:

1. Величина d меньше, чем d_L. В этом случае она будет также мень­ше, чем d_Kpum, и поэтому мы сделаем вывод о наличии положитель­ной автокорреляции.

2. Величина d больше, чем d_U. В этом случае она также больше кри­тического уровня, и поэтому мы не сможем отклонить нулевую гипо­тезу.

3. Величина d находится между d_L и d_U. В этом случае она может быть больше или меньше критического уровня. Поскольку нельзя опреде­лить, которая из двух возможностей налицо, мы не можем ни откло­нить, ни принять нулевую гипотезу.

В случаях 1 и 2 тест Дарбина—Уотсона дает определенный ответ, но случай 3 относится к зоне невозможности принятия решения, и изменить создавше­еся положение нельзя.

. Тест Дарбина—Уотсона на автокорреляцию

(показана зона неопределенности в случае предполагаемой

отрицательной автокорреляции)

Проверка на отрицательную автокорреляцию проводится по аналогичной схеме, причем зона, содержащая критический уровень, расположена симмет­рично справа от 2. Так как отрицательная автокорреляция встречается относи­тельно редко, предполагается, что при необходимости вы сами вычислите гра­ницы зоны на основе соответствующих значений для положительной автокор­реляции при данном числе наблюдений и объясняющих переменных. Это дос­таточно легко сделать. Как показано на рис., величина (4 — d_U) есть нижний предел, ниже которого признается отсутствие автокорреляции, а (4 - d_L) — верх­ний предел, выше которого делается вывод о наличии отрицательной автокор­реляции.