3.2 Теоремы двойственности в линейном программировании
Основные утверждения о взаимно двойственных задачах содержатся в следующих теоремах.
Первая теорема двойственности. Если одна задача из пары двойственных обладает оптимальным решением, то и другая имеет оптимальное решение, причем экстремальные значения соответствующих целевых функций равны
.
Если же у одной из этих задач целевая функция не ограничена, то двойственная ей задача не имеет допустимых решений. Наконец, если одна из этих задач не имеет допустимых решений, то двойственная ей задача либо также не имеет допустимых решений, либо имеет неограниченную целевую функцию.
Вторая теорема двойственности. Для того, чтобы два допустимых решенияиУ=(у1, у2, …, уm)пары двойственных задач были оптимальными необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли так называемым «условиям дополняющей нежесткости»:
1)
2)
т.е. чтобы равнялось нулю произведение значений любой переменной одной задачи на разность между значениями левой и правой частей соответствующего ограничения двойственной задачи.
Третья теорема двойственности (теорема об оценках). Значения переменныхуi в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членов ограничений исходной задачи на экстремальное значение ее целевой функции Zmax, т.е.
.
- Экономико-математические методы
- 1 Общая задача математического
- 1.1 Модель математического программирования
- 1.2 Математическая формулировка задач линейного
- 1.3 Примеры построения простейших моделей математического
- 1.4 Геометрическая интерпретация задач линейного
- 1.4.1 Графический метод решения
- 1.4.2 Схема решения задачи графическим методом
- 1.4.3 Особые случаи решения задач линейного
- 1.5 Контрольные вопросы к разделу 1
- 2 Симплекс-метод решения задач линейного
- 2.1 Симметричный симплекс-метод
- 2.2 Экономический анализ оптимального плана по последней
- 2.3 Симплекс-метод с искусственным базисом
- 2.4. Схема решения задач линейного программирования
- 2.5. Особые случаи при решении задач симплекс-методом
- 2.6 Контрольные вопросы к разделу 2
- 3 Двойственные задачи линейного
- 3.1 Понятие о двойственных задачах
- 3.2 Теоремы двойственности в линейном программировании
- 3.3 Экономическая интерпретация двойственных задач
- 3.4. Примеры построения двойственных задач
- 3.5 Контрольные вопросы к разделу 3
- 4 Транспортная задача линейного
- 4.1 Математическая постановка транспортной задачи
- 4.2 Метод потенциалов решения транспортной задачи
- Числаui являются потенциалами строк, аvj – потенциалами столбцов. Из теоремы следует, что для того, чтобы план был оптимальным, необходимо выполнение следующих условий:
- Если хотя бы одна незанятая клетка не удовлетворяет условию (б), то план не оптимален.
- 4.3 Схема решения транспортной задачи
- 4.4 Контрольные вопросы к разделу 4
- 5 Методы решения задач нелинейного
- 5.1 Классификация задач математического программирования
- 5.2 Метод Лагранжа
- 5.3 Метод динамического программирования
- 5.4 Применение динамического программирования для решения задач о замене оборудования и эффективного использования
- 5.5 Контрольные вопросы к разделу 5
- 6 Наиболее распространенные модели
- Содержание
- Литература
- Экономико-математические методы Учебное пособие