Влияние автокорреляции на свойства оценок мнк.

1. Истинная автокорреляция не приводит к смещению оценок регрессии, но оценки перестают быть эффективными.

2. Автокорреляция (особенно положительная) часто приводит к уменьшению стандартных ошибок коэффициентов, что влечет за собой увеличение

t-статистик.

3. Оценка дисперсии остатков Se2 является смещенной оценкой истинного значения se2 , во многих случаях занижая его.

4. В силу вышесказанного выводы по оценке качества

коэффициентов и модели в целом, возможно, будут

неверными. Это приводит к ухудшению прогнозных качеств модели.

Если оценивать параметры уравнения, не принимая во внимание автокорреляцию в остатках, и следовательно оценивать параметры a и b обычным методом МНК, то полученные оценки будут неэффективны. Т.к. они не буд4ут иметь минимальную дисперсию. Это приводит к увеличению стандартных ошибок, снижению фактических значений t-критерия и широким доверительным интервалам для коэффициента регрессии. На основе таких результатов можно сделать ошибочный вывод о незначимом влиянии исследуемого фактора на результат,  в то время как на самом деле его влияние статистически значимо.

Отметим, что при соблюдении прочих предпосылок МНК автокорреляция остатков не влияет на свойства состоятельности и несмещенности оценок параметров уравнения регрессии обычным МНК, за исключением моделей авторегрессии.

Рассмотрим основной подход к оценке параметров модели регрессии в случае, когда имеет место  автокорреляция остатков.

Пусть дана некоторая модель с автокорреляцией остатков:   (1)

И для момента (t-1) это модель принимает вид:   (2)

Умножим обе части уравнения (1) на   :    (3)

Вычтем почленно из уравнения  (1) уравнение (3):

 (4)

Проведя тождественные преобразования в уравнении (4), имеем:

  (5) или   (6)

где 

Поскольку - случайная ошибка, то для оценки параметров уравнения (6) можно применять обычный МНК.

Итак, если остатки по исходному уравнению содержат автокорреляцию, то для оценки параметров уравнения используют обобщенный МНК. Для его реализации следует выполнять следующие условия:

1)              преобразовать исходные переменные   и   к виду:

2)              Применив обычный МНК к уравнению (6), определить оценки параметров   и 

3)               Рассчитать параметр   исходного уравнения как   

4)              Выписать исходное уравнение 

Обобщенный метод наименьших квадратов аналогичен методу последовательных разностей. Однако мы вычитаем из  (или  ) не все значения предыдущего уровня   (или  ), а некоторую его долю   – или  . Если  , данный метод есть просто метод первых разностей, так как  тогда 

Поэтому в случае, если значение критерия Дарбина-Уотсона близко к нулю, применение метода первых разностей вполне обоснованно. Если  , т.е. в остатках наблюдается полная отрицательная корреляция, то изложенный выше метод модифицируется следующим образом: 

Поскольку   имеем  

Следовательно, 

В сущности, в последнем уравнении мы определяем средние за два периода уровни ряда, а затем по полученным усредненным уровням обычными МНК рассчитываем параметры a и b.  Данная модель называется моделью регрессии по скользящим средним.

Основная проблема, связанная с применением  данного метода, заключается в том, как получить оценку . Существует множество способов оценить численное значение коэффициента автокорреляции остатков первого порядка. Однако основными способами являются оценка этого коэффициента непосредственно по остаткам, полученным по исходному уравнению регрессии, и получение его приближенного значения  из соотношения  между коэффициентом автокорреляции первого порядка и критерием Дарбина-Уотсона: