Оценивание коэффициентов множественной линейной регрессии в условиях гетероскедастичности. Обобщенный метод наименьших квадратов.

Обобщенный метод наименьших квадратов.

При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреляции ошибок рекомендуется заменять традиционный метод наименьших квадратов (OLS) обобщенным методом (GLS).

Обобщенный метод наименьших квадратов применяется к преобразованным данным и позволяет получить оценки, которые обладают не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии.

Предположим, что среднее значение остатков равно нулю, а дисперсия их пропорциональна величине , т.е.

, где - дисперсия ошибки при конкретном i-м значении фактора; - постоянная дисперсия ошибки при соблюдении предпосылки о гомоскедастичности остатков; - коэффициент пропорциональности.

При этом предполагается, что неизвестна, а в отношении величины K выдвигается гипотезы, характеризующие структуру гетероскедастичности.

В общем виде для уравнения y = a + b  x +  модель примет вид:

В данной модели остаточные величины гетероскедастичны. Предположив в них отсутствие автокорреляции, перейдем к уравнению с гомоскедастичными остатками, поделив все переменные, зафиксированные в ходе i-го наблюдения, на . Тогда дисперсия остатков будет величиной постоянной, т.е. = . Иными словами, от регрессии y по x мы перейдем к регрессии на новых переменных: .

Дальнейшее преобразование уравнения регрессии и затем системы нормальных уравнений, то получим коэффициент регрессии:

.

При обычном применении метода наименьших квадратов к уравнению линейной регрессии для переменных в отклонениях от средних уровней коэффициент регрессии b определяется по формуле

Как видим, при использовании обобщенного МНК с целью корректировки гетероскедастичности коэффициент регрессии b представляет собой взвешенную величину по отношению к обычному методу наименьших квадратов 1/K.