logo search
Курсяк пример

2.2 Оценка числовых характеристик закона распределения контролируемых параметров и определение процента бракованных изделий

В контрольных журналах на предприятии отобраны статистические данные на всех этапах контроля. Рассмотрим и дадим оценку числовых характеристик закона распределения контролируемых параметров готового изделия и определим процент бракованной продукции.

По органолептическим показателям растительное масло полностью соответствует требованиям стандарта.

Значения контролируемых физико-химических показателей готовой продукции для 30 партий занесем в контрольный лист (таблица 3).

Таблица 3 – Контрольный лист показателей качества растительного масла

Номер партии

Показатели

Кислотное число, мг КОН/г

Перекисное число, ммоль активного кислорода/кг

Цветное число, мг йода

Массовая доля влаги и летучих вещ-в, %

Йодное число, йода/100г

1

2

3

4

5

6

1

0,270

2,16

9,501

0,025

122,46

2

0,341

3,67

9,782

0,062

124,21

3

0,317

3,20

10,12

0,041

123,77

4

0,329

3,37

9,904

0,015

123,31

5

0,349

3,89

10,11

0,070

122,15

6

0,311

2,91

10,15

0,071

120,0

7

0,309

3,71

9,675

0,081

121,76

8

0,344

3,34

9,948

0,001

122,12

9

0,327

3,38

9,911

0,024

123,59

10

0,306

2,51

9,992

0,043

124,35

11

0,348

2,91

10,2

0,024

123,1

12

0,300

2,95

9,921

0,023

120,15

13

0,275

3,22

10,05

0,062

124,13

14

0,331

3,40

9,76

0,056

124,44

15

0,342

2,82

10,34

0,028

121,1

1

2

3

4

5

6

16

0,314

3,14

9,507

0,021

123,30

17

0,305

2,07

9,546

0,014

123,81

18

0,296

2,079

9,682

0,034

122,85

19

0,316

3,53

10,5

0,011

124,42

20

0,296

2,52

9,583

0,074

121,26

21

0,340

2,68

9,994

0,031

120,17

22

0,313

2,44

9,723

0,074

122,24

23

0,288

3,56

10,28

0,007

124,50

24

0,286

2,9

10,25

0,063

122,79

25

0,343

3,41

10,01

0,026

122,54

26

0,284

2,62

9,689

0,008

120,31

27

0,313

3,60

9,766

0,012

122,72

28

0,271

2,92

9,786

0,040

124,76

29

0,341

3,26

9,801

0,084

121,13

30

0,287

3,23

9,804

0,047

121,2

Для оценки устойчивости процесса производства растительного масла используются контрольные карты Шухарта количественных данных (карты индивидуальных значений Х и скользящих размахов МR). Для контрольных карт предполагается нормальное распределение значений выбранных показателей качества. Определим основные параметры закона распределения и вычислим процент брака на основании требований нормативной документации для показателей качества растительного масла:

Результаты измерения кислотного числа растительного масла по 30 партиям представлены в таблице 3. Нормативной документацией установлено, что кислотное число растительного масла не должно превышать 0,35 мг КОН/г.

Для решения будем использовать табличный процессор Microsoft Excel. Рассортируем данные по возрастанию и сгруппируем их в виде пяти интервалов. Количество интервалов N определяем по формуле

где n – общее количество анализируемых данных, n = 30,

N=√30=5.

Подсчитаем частоты попадания данных в интервалы, середины интервалов и частости. Частость определяем как отношение частоты попадания значений в определенный интервал к общему количеству измерений n.

Результаты представим в таблице 4

Таблица 4 – Результаты расчета

Номер интервала

Границы интервала, %

Частота ni

Середина интервала xi, %

Частость ni/n

1

0,270

0,286

4

0,278

0,133

2

0,285

0,301

6

0,294

0,2

3

0,301

0,317

8

0,309

0,266

4

0,317

0,333

4

0,325

0,133

5

0,333

0,349

8

0,341

0,266

хср, %

30

0,312

Среднее арифметическое значение показателя хср определяем по формуле

,

где k – число интервалов размеров;

- середина интервала;

- частота попадания показателя качества в данный интервал;

n – число проведенных измерений.

Определим выборочное стандартное отклонение s, т. е. оценим стандартное отклонение , по формуле

.

Для проверки гипотезы о нормальности закона распределения на уровне значимости α=0,1 необходимо воспользоваться критерием согласия χ2 Пирсона. Для этого сравним эмпирические и теоретические частоты.

Критерий Пирсона является случайной величиной и вычисляется по формуле

.

Даная случайная величина при стремиться к закону распределения χ2 с k степенями свободы.

Число степеней свободы определяем по формуле

,

где r – число параметров предполагаемого распределения, для нормального распределения, r = 1,

.

Строим правостороннюю критическую область согласно требованию, что вероятность попадания критерия в эту область в предположение справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости :

.

Правосторонняя критическая область определяется неравенством:

.

Область принятия нулевой гипотезы определяется неравенством:

.

Вычислим значение критерия по данным наблюдений . Для этого рассчитаем теоретические частоты нормального распределения .

Вычисляем теоретические частости распределения.

Для расчета критерия рассчитываем дополнительные значения по формуле

.

Правостороннюю критическую границу определяем, используя функцию ХИ2ОБР (0,1;3), где 0,1 – уровень значимости, 3 – число степеней свободы с учетом того, что число интервалов в выборке равно 5.

Полученное значение правосторонней критической границы: =6,25. Правосторонняя критическая область ( ;+ ) или (6,25; + ).

Результаты вычислений представим таблице 5 .

Таблица 5 – Результаты расчета

(xi-xср)2

%

Значение

функции НОРМРАСП

Теоретические частоты n’i

Округленные частоты n’i

Теоретические частости

n’i /n

Критерий

Пирсона

0,001169

5,265346

2,492303

2

2

2

0,000339

12,85142

6,083103

6

1

0

6,92E-06

18,36373

8,692304

9

1,125

0,11

0,000173

15,36229

7,271601

7

0,57

0,57

0,000837

7,52379

3,561317

4

4

2,25

σ, %

χ2набл

4,93

0,021

χ2кр

6,25

Построим гистограмму распределения значений кислотного числа растительного масла, нанесем теоретические частости распределения, допустимые значения (поле допуска Т) и поле рассеяния параметра качества мг КОН/г. (рисунок 1 ).

Т=0,249-0,35мг КОН/г

=6

Хср=0,312

Рисунок 1 – Гистограмма распределения величины кислотного числа растительного масла «Олейна».

Поскольку =4,93 не попадает в критическую область, то гипотезу о том, что наблюдаемые значения показателя качества имеют нормальный закон распределения, не отвергаем.

Кислотное число растительного масла для всех партий попадает в интервал значений [ ], где

мг КОН/г,

мг КОН/г.

Все значения диапазона удовлетворяют требованиям к качеству растительного масла.

Все дальнейшие измерения проводим по аналогии.

Нормативной документацией установлено, что перекисное число растительного масла не должно превышать 4 ммоль активного кислорода/кг .

Таблица 6 – Результаты расчета для перекисного числа

Номер интервала

Границы интервала, %

Частота ni

Середина интервала xi, %

Частость ni/n

1

2,079

2,441

4

0,133

2,2603

2

2,441

2,804

6

0,2

2,6228

3

2,804

3,166

9

0,3

2,9853

4

3,166

3,529

6

0,2

3,3478

5

3,529

3,891

5

0,166

3,7102

хср, %

30

3,009

Таблица 7 – Результаты расчета для перекисного числа

(xi-xср)2

%

Значение

функции НОРМРАСП

Теоретические частоты n’i

Округленные частоты n’i

Теоретические частости

n’i /n

Критерий

Пирсона

0,561179

0,234915

2,554539

3

1,33

0,333333

0,149492

0,606915

6,599778

7

1,16

0,142857

0,000584

0,855515

9,303129

9

1

0

0,114455

0,657976

7,155032

7

1,16

0,142857

0,491105

0,276106

3,002459

3

1,66

1,333333

σ, %

χ2набл

1,95

0,465

χ2кр

6,25

Поле рассеяния

Т=1,614-4 ммоль активного кислорода/кг

=6

Хср=3,009ммоль акт.кислорода/кг

Рисунок 2 – Гистограмма распределения величины перекисного числа растительного масла «Олейна»

Поскольку =1,95 не попадает в критическую область, то гипотезу о том, что наблюдаемые значения показателя качества имеют нормальный закон распределения, не отвергаем.

Кислотное число растительного масла для всех партий попадает в интервал значений [ ], где

ммоль активного кислорода/кг,

ммоль активного кислорода/кг

Все значения диапазона удовлетворяют требованиям к качеству растительного масла.

Нормативной документацией установлено, что цветное число растительного масла не должно превышать 10,5 мг йода.

Таблица 8 – Результаты расчета для цветного числа

Номер интервала

Границы интервала, %

Частота ni

Середина интервала xi, %

Частость ni/n

1

9,501

9,701

4

0,133

9,601

2

9,701

9,9

6

0,2

9,8

3

9,9

10,1

12

0,4

10

4

10,1

10,3

5

0,167

10,2

5

10,3

10,5

3

0,1

10,4

хср, %

30

9,98

Таблица 9 – Результаты расчета для цветного числа

(xi-xср)2

%

Значение

функции НОРМРАСП

Теоретические частоты n’i

Округленные частоты n’i

Теоретические частости

n’i /n

Критерий

Пирсона

0,144

0,4467614

2,67889122

3

1,33

0,3333

0,032

1,275534

7,64841618

8

1,33

0,5

4E-04

1,721346

10,3216145

10

0,83

0,4

0,048

1,0980042

6,58390339

7

1,4

0,5714

0,176

0,3310545

1,9850843

2

0,67

0,5

σ, %

χ2набл

2,3

0,231

χ2кр

6,25

мг йода.

Т=9,287-10,673 мг йода

=6

Хср=9,98мг йода

Рисунок 3 – Гистограмма распределения величины цветного числа растительного масла «Олейна»

Поскольку =2,3 не попадает в критическую область, то гипотезу о том, что наблюдаемые значения показателя качества имеют нормальный закон распределения, не отвергаем.

Кислотное число растительного масла для всех партий попадает в интервал значений [ ], где

мг йода,

мг йода.

Не все значения полученного диапазона удовлетворяют заданным требованиям к качеству растительного масла (цветное число должно быть в пределах не более 10,5 мг йода). Определим возможный процент бракованной продукции с помощью функции нормального распределения , определяющей вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х, т.е. .

Вероятность того, что цветное число растительного масла будет более 10,5 мг йода составит 0,9878, следовательно, процент годной продукции – 98,78%. Значит 1,22 % растительного масла может иметь цветное число, не соответствующую требованиям нормативной документации.

Нормативной документацией установлено, что массовая доля влаги и летучих веществ растительного масла не должно превышать 0,1% .

Таблица 10 – Результаты расчета для массовой доли влаги и летучих веществ

Номер интервала

Границы интервала, %

Частота ni

Середина интервала xi, %

Частость ni/n

1

0,00075

0,0174

5

0,00910

0,166

2

0,0174

0,03416

6

0,02581

0,2

3

0,03416

0,05087

9

0,04251

0,3

4

0,05087

0,06757

6

0,05922

0,2

5

0,06757

0,08428

4

0,0759

0,133

хср, %

30

0,0414

Таблица 11 – Результаты расчета

(xi-xср)2

%

Значение

функции НОРМРАСП

Теоретические частоты n’i

Округленные частоты n’i

Теоретические частости

n’i /n

Критерий

Пирсона

0,00104

5,990839

3,002459

3

0,100082

1,333

0,00024

14,27652

7,155032

7

0,238501

0,142

1,24E-06

18,56264

9,303129

9

0,3

0

0,00031

13,16861

6,599778

7

0,219993

0,142

0,00119

5,097099

2,554539

3

0,085151

0,333

σ, %

χ2набл

1,95

0,0214

χ2кр

6,25

Т= -0,314-0,4246 %

=6

Хср=0,0414%

Рисунок 4 – Гистограмма распределения величины массовой доли влаги и летучих веществ растительного масла «Олейна».

Поскольку =1,95 не попадает в критическую область, то гипотезу о том, что наблюдаемые значения показателя качества имеют нормальный закон распределения, не отвергаем.

Массовая доля влаги и летучих веществ растительного масла для всех партий попадает в интервал значений [ ], где

%,

%

Все значения диапазона удовлетворяют требованиям к качеству растительного масла.

Нормативной документацией установлено, что йодное число растительного масла не должно превышать 125 йода/100г.

Таблица 12 – Результаты расчета

Номер интервала

Границы интервала, йода/100г

Частота ni

Середина интервала xi, йода100г

Частость ni/n

1

120,06

121,00

4

120,53

0,133333

2

121,00

121,94

5

121,47

0,166667

3

121,94

122,88

10

122,41

0,333333

4

122,88

123,82

6

123,35

0,2

5

123,82

124,76

5

124,29

0,166667

хср, йода/100г=122,51

Таблица 13 – Результаты расчета

(xi-xср)2,

йода/100г

Значение

функции НОРМРАСП

Теоретические частоты n’i

Округленные частоты n’i

Теоретические частости

n’i /n

Критерий

Пирсона

3,896681

0,085046

2,398306

2

0,079944

2

1,069157

0,229699

6,477527

6

0,215918

0,166667

0,008836

0,333406

9,402069

9

0,313402

0,111111

0,715717

0,260075

7,334108

7

0,24447

0,142857

3,1898

0,109026

3,074544

3

0,102485

1,333333

σ=1,19

χ2набл

3,75

χ2кр

6,25

П

Т= 118,94-124,08 йода/100г

оле рассеяния параметра качества йода/100г

=6

Хср=122,51йода/100г

Рисунок 5 – Гистограмма распределения величины йодного числа растительного масла «Олейна»

Поскольку =3,75 не попадает в критическую область, то гипотезу о том, что наблюдаемые значения показателя качества имеют нормальный закон распределения, не отвергаем.

Йодное число растительного масла для всех партий попадает в интервал значений [ ], где

йода/100г,

йода/100г.

Все значения диапазона удовлетворяют требованиям к качеству растительного масла.

На основании анализа процесса получения растительного масла проведем поиск причин повышенного содержания цветного числа в растительном масле с помощью диаграммы Исикавы.