Проверка значимости коэффициентов и адекватности регрессии для множественной линейной регрессионной модели.

После того как уравнение линейной регрессии найдено, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных ее параметров.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэффициент регрессии равен нулю, т.е. b=0, и, следовательно, фактор x не оказывает влияния на результат y.

Проверка значимости коэффициентов регрессии означает проверку основной гипотезы

об их значимом отличии от нуля.

Основная гипотеза состоит в предположении о незначимости коэффициентов модели

множественной регрессии, т. е.

Обратная или конкурирующая гипотеза состоит в предположении о значимости

коэффициентов модели множественной регрессии, т. е.

Данные гипотезы проверяются с помощью t-критерия Стьюдента, который вычисляется

посредством частного F-критерия Фишера-Снедекора.

При проверке основной гипотезы о значимости коэффициентов модели множественной

регрессии применяется зависимость, которая существует между t-критерием Стьюдента

и частным F-критерием Фишера-Снедекора:

При проверке значимости коэффициентов модели множественной регрессии

критическое значение t-критерия определяется как tкрит(а;n-l-1), где а – уровень

значимости, n – объём выборочной совокупности, l – число оцениваемых по выборке

параметров, (n-l-1) – число степеней свободы, которое определяется по таблице

распределений t-критерия Стьюдента.

При проверке основной гипотезы вида

наблюдаемое значение частного F-критерия Фишера-Снедекора рассчитывается по

формуле:

При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации.

Если наблюдаемое значение t-критерия больше критического значения t-критерия

(определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е.

tнабл≥tкрит, то основная гипотеза о незначимости коэффициента βk модели

множественной регрессии отвергается, и он является значимым.

Если наблюдаемое значение t-критерия меньше критического значения t-критерия

(определённого по таблице распределения Стьюдента), т.е. tнабл<tкрит, то основная

гипотеза о незначимости коэффициента βk модели множественной регрессии

принимается.

Проверка основной гипотезы о значимости модели множественной регрессии в целом

состоит в проверке гипотезы о значимости коэффициента множественной корреляции

или значимости параметров модели регрессии.

Если проверка значимости модели множественной регрессии в целом осуществляется

через проверку гипотезы о значимости коэффициента множественно корреляции, то

выдвигается основная гипотеза вида Н0:R(y,xi)=0, утверждающая, что коэффициент

множественной корреляции является незначимым, и, следовательно, модель

множественной регрессии в целом также является незначимой.

Обратная или конкурирующая гипотеза вида Н1:R(y,xi)≠0 утверждает, что

коэффициент множественной корреляции является значимым, и, следовательно,

модель множественной регрессии в целом также является значимой.

Данные гипотезы проверяются с помощью F-критерия Фишера-Снедекора.

Наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное на основе выборочных данных)

сравнивают со значением F-критерия, которое определяется по таблице распределения

Фишера-Снедекора, и называется критическим.

При проверке значимости коэффициента множественной корреляции критическое

значение F-критерия определяется как Fкрит(a;k1;k2), где а – уровень значимости,

k1=l–1 и k2=n–l – число степеней свободы, n – объём выборочной совокупности, l –

число оцениваемых по выборке параметров.

При проверке основной гипотезы вида Н0:R(y,xi наблюдаемое значение F-критерия

Фишера-Снедекора рассчитывается по формуле:

где R2(y,xi) – коэффициент множественный детерминации.

При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации.

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше

критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-

Снедекора), т. е. Fнабл>Fкрит, то с вероятностью а основная гипотеза о незначимости

коэффициента множественной корреляции отвергается, и он признаётся значимым.

Следовательно, модель множественной регрессии в целом также является значимой.

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше

или равно критического значения F-критерия (определённого по таблице

распределения Фишера-Снедекора), т.е. Fнабл≤Fкрит, то основная гипотеза о

незначимости коэффициента множественной корреляции принимается, и он признаётся

незначимым. В этом случае модель множественной регрессии признаётся незначимой.