Численные методы интегрирования

Вернемся теперь к предыдущей задаче. Очевидно, что интегрирование системы дифференциальных уравнений является более сложной задачей по сравнению с рассмотренной ранее. Применение аналитичееских приемов интегрирования вряд ли возможно, поскольку правые части дифференциальных уравнений содержат концентрации сразу нескольких веществ, и разделить переменные не удастся.

Воспользуемся численным методом интегрирования. Для этого разобьем ось времени на малые отрезки (шаги). Считая, что производные концентраций веществ по времени есть математический предел отношения приращений концентраций к приращению времени, при Δt ,стремящемся к нулю:

,

преобразуем систему дифференциальных уравнений в систему алгебраических. В левой части приращение времени нам известно, поскольку шаг по времени мы выбираем сами. Важно только то, что этот шаг должен быть малым.

В правой части значения всех констант скорости нам также известны из эксперимента, то же следует сказать и о величинах порядков. Подставим в правую часть также значения концентраций всех веществ, воспользовавшись начальными условиями. Каждое из уравнений системы содержит в этом случае лишь одну неизвестную величину – изменение концентрации ΔC_i. По сути это изменение концентрации за первый шаг решения, когда время изменяется от нуля (начала химической реакции) до Δt. Изменение концентрации со своим знаком суммируем с начальной концентрацией и определяем концентрацию каждого из веществ на момент окончания первого шага решения.

На следующем шаге решения в правую часть подставим значения концентраций из предыдущего шага решения и вновь получим ΔC_i, но теперь для следующего шага решения, как показано на рисунке.

На каждом шаге решения получаем ординаты, соответствующие изменению концентрации всех веществ, участвующих в реакциях. Геометрическое место точек, являющихся ординатами, даст для каждого из веществ график функции изменения концентрации во времени. Заметим, что в результате численного интегрирования мы не получаем аналитического выражения, задающего изменение концентрации во времени, ординаты на графике получаются расчетным путем. Однако построение графиков функций изменения концентраций по времени возможно, а вид кривых позволяет сделать ряд выводов, имеющих практический смысл.

Очевидно, что концентрации исходных веществ со временем убывают, поскольку они расходуются в реакции. Не менее очевидно, что концентрации конечных продуктов возрастают.

Поведение промежуточных веществ заслуживает отдельного рассмотрения. Графики концентраций промежуточных веществ имеют максимумы, соответствующие определенной продолжительности реакции. Если промежуточное вещество является целевым продуктом химических реакций, то максимум концентрации соответствует оптимальной продолжительности для получения данного целевого вещества.

Так происходит потому, что в начальный момент химической реакции концентрации исходных веществ велики, а скорость химической реакции с участием исходных веществ пропорциональна их концентрациям. Реакции с участием исходных веществ вначале происходят с большими скоростями. Это означает, что промежуточные вещества образуются также с высокой скоростью.

С другой стороны, скорость разложения промежуточных веществ также пропорциональна их концентрации, и мала вначале. Скорость образования промежуточных веществ больше скорости их разложения, что способствует накоплению промежуточных веществ, их концентрация возрастает.

По мере развития химической реакции уменьшается скорость образования промежуточных веществ и растет скорость их разрушения. Когда величины скоростей становятся одинаковыми, рост концентрации прекращается, в системе наблюдается максимум концентрации промежуточного вещества.

Далее скорость образования промежуточного вещества снижается, поскольку продолжается уменьшение концентраций исходных веществ. Скорость разрушения промежуточного вещества также уменьшается, оставаясь по величине больше скорости образования, а это приводит к расходованию промежуточного вещества в системе и к падению его концентрации.

;

Т_С – оптимальное время для получения вещества С.

Рассмотрим поведение вещества С: в начальный момент времени С_С = 0.

k₁C_B>k₂C_C^0.7

Таким образом, моделирование кинетики позволяет определить образование и расходование всех веществ в системах химических реакций, установить вид функции концентрации в зависимости от времени, в ряде случаев определить оптимальные условия по ведению химической реакции.