Тема 2. Сложные проценты

При использовании сложных процентов база для начисления процентов увеличивается от периода к периоду, т.е. процесс наращения ка­питала происходит с ускорением. Механизм возрастания капитала по слож­ным процентам называют капитализацией. Различают годовую капитализацию, полугодовую, квартальную, месячную и ежедневную.

Наращенная сумма сложных декурсивных процентов определяется по формуле:

, (2.1)

где P – первоначальная величина капитала (кредита, депозита, ссуды и т.д.),

S – наращенная сумма капитала на конец срока финансовой операции,

n – срок финансовой операции, лет,

i – годовая ставка процентов, выраженная десятичной дробью.

Сумма начисленных процентов I составляет:

. (2.2)

Если используются переменные значения процентной ставки во времени, то на­ращенная сумма определяется по формуле:

, (2.3)

где – последовательные значения переменной процентной ставки,

–продолжительность периодов (лет), к которым приурочены соответствующие значения процентной ставки,

ℓ – число значений процентной ставки.

Часто срок финансовой операции является не целым, а дроб­ным числом. Для определения наращенной суммы капитала в этом случае используют два метода:

а) общий , (2.4)

б) смешанный , (2.5)

где – срок финансовой операции, лет;– целое число лет,– дроб­ная часть года.

Аналогичный метод применяется и в случаях, когда периодом начис­ления является полугодие, квартал или месяц, а также при использовании учетной ставки d.

Множитель наращения по смешанному методу оказывается несколько больше, чем по общему.

Проценты капитализируются не только один, а несколько раз в году – по полугодиям, кварталам, месяцам (даже ежедневно). В контрактах при этом указывается не ставка за период начисления (), а годовая ставка (), одновременно указывается пе­риод начисления процентов. Годовая процентная ставкаj называется номи­нальной.

Формула наращения процентов при этом имеет вид:

, (2.6)

где – число начисления процентов в году (ежегодное начисление m = 1; по полугодиям, m = 2; ежеквартальное, m = 4; ежемесячное, m = 12; еже­дневное, m=365).

Наращение по сложной учетной ставке осуществляется по форму­лам:

а) при ежегодном начислении процентов (m=1)

; (2.7)

б) при m-разовом начислении процентов (m>1)

. (2.8)

Если используются переменные значения учетной ставки, то на­ращенная сумма определяется по формуле:

. (2.9)

Дисконтирование по сложной ставке процента может быть матема­тическим и банковским.

Математическое дисконтирование заключается в определении со­временной величины капитала P по значению наращенной суммы S с использованием сложной ставки декурсивных процентов. Современная стоимость капитала составит:

а) при ежегодном начислении процентов

; (2.10)

б) при m-разовом начислении процентов в году

. (2.11)

Банковское дисконтирование по сложной учетной ставке может быть использовано при учете среднесрочных и долгосрочных долговых обяза­тельств. Дисконтированная величина долгового обязательства составит:

а) при ежегодном начислении процентов

; (2.12)

б) при m-разовом начислении процентов

. (2.13)

Таблица 2.1 - Определение срока финансовой операции и ставки процента

При непрерывном наращении процентов применяют силу роста, которая характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Она может быть постоянной или изменяться во времени.

Постоянная сила роста () представляет собой номинальную ставку сложных процентов при. Наращенная сумма капитала составит

, (2.22)

а современная стоимость . (2.23)

Переменная сила роста () изменяется во времени, следуя закону, представленному в виде непрерывной функции времени.

Линейная функция:

, (2.24)

где – начальное значение силы роста,а – прирост силы роста в единицу времени.

Наращенная сумма капитала составит

, (2.25)

а современная стоимость

. (2.26)

Экспоненциальная функция:

, (2.27)

где – начальное значение силы роста,а – постоянный коэффициент роста.

Наращенная сумма капитала составит

, (2.28)

а современная стоимость

. (2.29)

Таблица 2.2 - Определение срока финансовой операции и силы роста

Налогообложение процентного дохода уменьшает реальную нара­щенную сумму и доходность депозитной операции. Если начисляются простые проценты, то сумма налога на про­центы L за весь срок финансовой операции составит:

, (2.34)

где q – ставка налога на проценты.

Наращенная сумма с учетом выплаты налога:

. (2.35)

При долгосрочных операциях и начислении сложных процентов сумма налога на проценты определяется по формуле:

. (2.36)

Наращенная сумма с учетом выплаты налога:

. (2.37)

Сумма налога на про­центы за каждый год отдельно составляет:

, (2.38)

где t – порядковый номер года.

Наращенная сумма с учетом влияния инфляции (C) по схеме про­стых процентов определяется по формулам:

а) декурсивные проценты

; (2.39)

б) антисипативные проценты

, (2.40)

где –индекс цен за соответствующий период n (эту величину также называют индексом инфляции за период n).

Соответственно, темп прироста инфляции h_n за период времени n лет составит: . (2.41)

Индекс инфляции за весь период вn лет при известных темпах прироста инфляции за составляющие его подпериоды:

, (2.42)

где – темпы прироста инфляции за соответствующие подпериоды, %;

–период действия соответствующего темпа прироста

инфляции, .

Наращенная сумма с учетом влияния инфляции по схеме сложных про­центов определяется по формулам:

а) декурсивные проценты

, при m=1; , при m>1; (2.43)

б) антисипативные проценты

, при m=1; (2.44)

, при m>1; (2.45)

в) непрерывные проценты

. (2.46)

Реальная доходность финансовой операции с учетом инфляции измеряется с помощью соответствующих ставок процента:

а) по схеме простых процентов

; ; (2.47)

б) по схеме сложных процентов

, , при m=1; (2.48)

, , при m>1; (2.49)

, . (2.50)

Минимальная ставка процента, нейтрализующая действие инфляции, определяется из равенства индекса инфляции и соответствующего множителя наращения. Если начисляются сложные декурсивные проценты по ставке i за n лет, а индекс инфляции за этот же период составил , то:

, откуда (2.51)

Для обеспечения реального наращения капитала в условиях инфляции должно выполняться неравенство

В целях компенсации потерь от снижения покупательной способности денег ставку процента корректируют с учетом темпа инфляции. Вели­чина корректирующей брутто-ставки r, которая обеспечивает реальную доходность финансовой операции по заданной ставке процента, оп­ределяется по формулам:

а) по схеме простых процентов

; ; (2.52)

б) по схеме сложных процентов

, , при m=1; (2.53)

, , при m>1; (2.54)

, . (2.55)

Пример 2.1 Сумма 200 тыс. руб. инвестируется под процентную ставку 15 % годовых: 1) на 3 месяца; 2) на 6 месяцев; 3) на 1 год; 4) на 6 лет; 5) на 9 лет. Найти наращенные суммы по схеме простых и сложных про­центов.

Решени 1. По условию задачи n₁=0,25 года, n₂=0,5 года, n₃=1 год, n₄=6 лет, n₅=9 лет, P=200000 руб., i=0,15. При наращении простых процентов по формуле (1.2) полу­чим:

1.1. руб.

1.2. руб.

1.3. руб.

1.4. руб.

1.5. руб.

2. При наращении сложных процентов по формуле (2.1) полу­чим:

2.1.руб.

2.2. руб.

2.3. руб.

2.4. руб.

2.5. руб.

Для владельца капитала более выгодной является схема простых декурсивных процентов, если срок финансовой операции ме­нее одного года; схема сложных декурсивных процентов – если срок пре­вышает один год. При однократном начислении процентов и продолжи­тельности периода один год обе схемы дают равные результаты.

Пример 2.2 В банке получена ссуда в размере 400 тыс. руб. на 8 лет на следующих условиях: для первых трех лет процентная ставка равна 10% годовых, на следующий год устанавливается маржа в размере 1%, а на по­следующие годы маржа равна 1,5%. Найдите сумму, которая должна быть возвращена банку по окончании срока ссуды при ежегодных начислениях сложных процентов.

Решение. Поскольку имеем дело с переменной процентной ставкой, то P=400000 руб., n₁=3, n₂=1, n₃=4, i₁=0,10, i₂=0,11, i₃=0,115. Используя фор­мулу , получим:

913399 руб.

Пример 2.3 Предприниматель получил в банке ссуду в размере 50 тыс. руб. на 39 месяцев под процентную ставку 17% годовых на условиях начисления процентов: а) ежегодного; б) полугодичного. Какую сумму пред­приниматель должен будет вернуть банку по истечении срока при использо­вании схемы: сложных процентов, смешанной ?

Решение

1. Так как срок финансовой операции выражается в месяцах, а про­центы в первом варианте начисляются ежегодно, т.е. каждые 12 месяцев, то, разделив 39 месяцев на 12 месяцев, получим общее количество периодов на­числения процентов или срок ссуды в годах:

года, где a = 3, b=0,25. Остальные параметры ссуды составят: P = 50000 руб., i = 0,17. Наращенная сумма будет равна:

по схеме сложных процентов

руб.;

по смешанной схеме

руб.

2. Так как срок финансовой операции выражается в месяцах, а про­центы во втором варианте начисляются по полугодиям, т.е. каждые 6 меся­цев, то, разделив 39 месяцев на 6 месяцев, получим общее количество пе­риодов начисления процентов или срок ссуды в полугодиях:

полугодий, где a=6 (a – целое количе­ство периодов начисления процентов), b=0,5 (b – дробная часть одного пе­риода). Наращенная сумма составит:

по схеме сложных процентов

руб.;

по смешанной схеме

руб.

По смешанной схеме итоговая сумма несколько больше, чем при начислении только сложными процентами, кроме того, чем чаще начисляются декурсивные проценты, тем больше наращенная сумма. Значит для кредитора (банка) самым выгодным является последний вариант, а для заемщика (предпринимателя) первый вариант.

Пример 2.4 Вы имеете возможность поместить свои свободные денежные средства в долларах США на 1,5 года в одном банке на валютном депозите под процентную ставку 6% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов или в другом банке эту же сумму поместить на рублевом депозите под процентную ставку 10% годовых с полугодовым начислением сложных процентов. Как вам лучше поступить, если курс покупки долларов на начало срока – 29 руб. 10 коп., а ожидаемый курс продажи через 1,5 года – 30 руб. 10 коп.

Решение. Обозначим имеющееся количество долларов через P. Остальные параметры финансовой операции составят: n=1,5; m_$=12; m_руб.=2; j_$=0,06; j_руб.=0,1. Помещая доллары на валютный депозит, через 1,5 года можно получить:

долл. США.

Если же имеющиеся P долларов обменять на рубли, то в соответствии с курсом покупки можно получить 29,1P руб. Через 1,5 года наращенная сумма на рублевом депозите составит:

руб.,

что при конвертации по ожидаемому курсу продажи даст:

долл. США.

Сравнивая эту величину с наращенной суммой на валютном депозите (), делаем вывод, что лучше поместить доллары на рублевый депозит.

Пример 2.5 На сумму 90 тыс. руб. в течение 3,5 лет ежеквартально начисляются сложные проценты по ставке 14% годовых. За этот же период цены росли ежемесячно в течение первого года на 1%, в течение второго года – на 1,1%, в течение третьего – на 1,3%, последние полгода – на 1,1%. Определить: покупательную способность наращенной суммы через 3,5 года; ставку реальной доходности финансовой операции; минимальную положительную ставку, обеспечивающую реальное наращение капитала. Какова должна быть банковская ставка, которая обеспечит реальную доходность операции 14% годовых при ежеквартальном начислении процентов?

Решение. Имеем: P=90000 руб.; n=3,5 года или 42 месяца, n₁=n₂=n₃=12 месяцев, n₄=6 месяцев; h₁=1, h₂=1,1, h₃=1,3, h₄=1,1; m=4; j=0,14.

1. Найдем индекс инфляции за 3,5 года или 42 месяца по формуле (2.43)

2. Определяем покупательную способность наращенной суммы с учетом инфляции. Так как m=4 (т.е. m>1), то

руб.

Таким образом, реальная наращенная сумма с учетом инфляции оказалась больше первоначальной только на 932,22 руб.

3. Ставка реальной доходности наращения составит:

или 0,29%,

т.е. при исходных параметрах финансовая операция является малоприбыльной.

4. Минимальная ставка, компенсирующая влияние инфляции составит:

, (2.56)

откуда или 13,7%.

Таким образом, для обеспечения реального наращения капитала номинальная процентная ставка должна превышать 13,7% годовых при ежеквартальном начислении процентов.

5. Брутто-ставка, обеспечивающая реальную доходность 14% годовых с поквартальным начислением процентов, при данных темпах инфляции будет определяться по формуле:

или 28,17%.

Это означает, что если банк увеличит номинальную процентную ставку до 28,17% годовых, то влияние инфляции будет полностью компенсировано.