logo
Методичка ФВ для очников

Тема 4. Постоянные финансовые ренты

Финансовая рента или аннуитет – это однонаправленный денежный поток с равными временными интервалами.

Финансовая рента характеризуется следующими параметрами:

R – величина годового платежа;

n – срок ренты, лет;

i или j – годовые сложные процентные ставки, используемые для наращения ренты или дисконтирования платежей;

m – частота начисления процентов в году;

p – число рентных платежей в году;

S – наращенная сумма ренты, т.е. сумма всех платежей с начисленными на них процентами на конец срока ренты;

A – современная величина ренты (приведенная стоимость), т.е. сумма всех платежей, уменьшенная (дисконтированная) на величину процентной ставки на определенный момент времени (как правило, на начало ренты).

Таблица 4.1 – Определение наращенной суммы и современной стоимости

постоянной ренты постнумерандо

Число платежей в году

Число начисления процентов в году

Наращенная сумма

Современная

стоимость

p=1

m=1

(4.1)

(4.2)

m1

(4.3)

(4.4)

m

(4.5)

(4.6)

p1

m=1

(4.7)

(4.8)

m=p

(4.9)

(4.10)

mp

(4.11)

(4.12)

m

(4.13)

(4.14)

При разработке контрактов и условий финансовых операций могут возникнуть случаи, когда задается одна из двух обобщающих характеристик – SилиA, а необходимо рассчитать значение недостающего параметра.

Таблица 4.2 – Расчет величины годового платежа постоянных рент

постнумерандо

Число платежей в году

Частота начисления процентов

в году

Исходные параметры

S

A

p=1

m=1

(4.15)

(4.16)

m1

(4.17)

(4.18)

m

(4.19)

(4.20)

p1

m=1

(4.21)

(4.22)

m=p

(4.23)

(4.24)

mp

(4.25)

(4.26)

m

(4.27)

(4.28)

В случае согласования остальных параметров финансовой сделки срок ренты можно рассчитать с помощью величины наращенной суммы или современной стоимости ренты.

Таблица 4.3 – Расчет срока постоянных рент постнумерандо

Число платежей в году

Число начислений процентов в году

Исходные параметры

S

A

p=1

m=1

(4.29)

(4.30)

m1

(4.31)

(4.32)

m

(4.33)

(4.34)

p1

m=1

(4.35)

(4.36)

m=p

(4.37)

(4.38)

mp

(4.39)

(4.40)

m

(4.41)

(4.42)

При расчете срока ренты нужно принять во внимание следующее:

а) расчетные значения срока будут, как правило, дробные, тогда для годовой ренты в качестве n удобно принять ближайшее целое число лет;

б) в связи с округлением величины n до целого значения необходимо пересчитать величину годового рентного платежа R с тем, чтобы наращенная сумма (или современная стоимость) ренты осталась неизменной.

Величину процентной ставки ренты определяют обычно методом линейной интерполяции следующим образом:

а) при известных величинах наращенной суммы ренты S, годового платежа R и коэффициента наращения ренты

, (4.43)

где и – нижнее и верхнее значения предполагаемой процентной ставки;

и – нижнее и верхнее значения коэффициентов наращения

ренты для ставок и ;

б) при известных величинах современной стоимости ренты A, годового платежа R и коэффициента приведения ренты

, (4.44)

где и – значения коэффициентов приведения ренты для ставок и .

При расчетах рентных платежей в финансовой практике чаще всего используются сложные проценты. Однако существуют рентные платежи, в которых начисление производится по ставкам простых процентов, при этом наращенная сумма и современная стоимость ренты определяются по формулам:

; (4.45)

, (4.46)

где p – число рентных платежей в году.

Таблица 4.4 – Определение наращенной суммы и современной стоимости

ренты пренумерандо

Число платежей в году

Частота начислений процентов в году

Наращенная сумма

Современная стоимость

p=1

m=1

(4.47)

(4.48)

m1

(4.49)

(4.50)

m

(4.51)

(4.52)

p1

m=1

(4.53)

(4.54)

m=p

(4.55)

(4.56)

mp

(4.57)

(4.58)

m

(4.59)

(4.60)

Пример 4.1 Фирма создает инвестиционный фонд. В течение 5 лет в фонд вносятся платежи в размере 75000 руб. в год под 12% годовых. Найти величину инвестиционного фонда через 5 лет, если: 1) платежи осуществляются один раз в году, проценты начисляются один раз в году; 2) платежи осуществляются один раз в году, проценты начисляются ежеквартально; 3) платежи осуществляются по полугодиям, проценты начисляются один раз в году; 4) платежи осуществляются по полугодиям, проценты начисляются по полугодиям; 5) платежи осуществляются по полугодиям, проценты начисляются ежеквартально.

Решение. По формулам (4.1), (4.3), (4.7), (4.9), (4.11) находим величину наращенной суммы ренты постнумерандо.

1) p=1, m=1, руб.;

2) p=1, m=4, руб.;

3) p=2, m=1, руб.;

4) p=2, m=2, руб.;

5) p=2, m=4, руб.

Пример 4.2 Фирма предусматривает создание в течение 4-х лет фонда развития и имеет возможность вносить ежегодно 34700 руб. под 8% годовых. Какая сумма потребовалась бы фирме изначально для создания фонда, если бы она поместила ее в банк на 4 года под 8% годовых, если: 1) платежи осуществляются один раз в году, проценты начисляются один раз в году; 2) платежи осуществляются один раз в году, проценты начисляются ежеквартально; 3) платежи осуществляются по полугодиям, проценты начисляются один раз в году; 4) платежи осуществляются по полугодиям, проценты начисляются по полугодиям; 5) платежи осуществляются по полугодиям, проценты начисляются ежеквартально.

Решение.Найдем современную величину ренты постнумерандо, используя формулы (4.2), (4.4), (4.8), (4.10), (4.12).

1) p=1, m=1, руб.;

2) p=1, m=4, руб.;

3) p=2, m=1, руб.;

4) p=2, m=2, руб.;

5) p=2, m=4, руб.

Пример 4.3 Какой срок необходим для накопления 400 тыс. руб., если ежеквартально будет вноситься 10 тыс. руб. под 12 % годовых при ежегодном начислении процентов?

Решение. Так как величина наращенной суммы S=400 тыс. руб., число начислений процентов в году m = 1, рентные платежи вносятся ежеквартально (p=4), а R-величина годового взноса составляет =40 000 руб. то по формуле (4.35)

лет.

Вследствие округления срока ренты необходимо пересчитать величину годового взноса по формуле (4.21)

руб,

.

Таким образом, ежеквартально необходимо вносить 11803,93 руб.