Тема 5. Переменные финансовые ренты. Конверсии рент

В практике встречаются случаи, когда члены потока платежей изменяются в течение срока ренты. Изменения могут быть связаны с какими-либо обстоятельствами объективного порядка, а иногда и случайными факторами.

Поток последовательных платежей, члены которого не являются постоянными величинами, называется переменной рентой. Изменение величины платежей может быть описано каким-либо законом или носить нерегулярный характер. При этом определяются параметры следующих видов рент:

а) ренты с разовыми изменениями платежей

Наращенная сумма годовой ренты

, (5.1)

где – коэффициент наращения годовой ренты.

Современная величина годовой ренты

, (5.2)

где – коэффициент приведения годовой ренты;

–дисконтный множитель по ставке i;

n – срок ренты, n = n₁ + n₂ +…+ n_к;

n₁, n₂, …, n_к – продолжительность временных отрезков;

R₁, R₂, …, R_к - годовой платеж в соответствующем временном отрезке;

i₁, i₂, …, i_к – процентные ставки.

Если платежи вносятся несколько раз в году, то коэффициенты наращения () или приведения () рассчитываются как дляp-срочной ренты.

б) ренты с постоянным абсолютным изменением ее членов

Наращенная сумма переменной ренты с постоянным абсолютным изменением ее членов составит:

, (5.3)

где d – разность арифметической прогрессии (величина абсолютного годового изменения членов ренты с соответствующим знаком),

R – первый член ренты.

Современная величина данной ренты составит:

. (5.4)

Зная значение постоянного прироста d, процентной ставки i, наращенной суммы S или текущей суммы долга A, определяется размер первого платежа R:

; (5.5)

. (5.6)

Величина абсолютного прироста d определяется по формулам:

;

(5.7)

.

Для переменной p-срочной ренты с постоянным абсолютным приростом платежей наращенная сумма и современная стоимость определяются по формулам:

; (5.8)

. (5.9)

в) ренты с постоянным относительным приростом платежей

Наращенная сумма и современная стоимость ренты составят:

а) при ежегодных платежах

; (5.10)

, (5.11)

где q – знаменатель прогрессии, т.е. коэффициент роста;

б) при p-срочной ренте

; (5.12)

. (5.13)

Расчеты по коммерческим сделкам могут предусматривать изменение условий оплаты, которое называется конверсией финансовых рент. Простейшими случаями конверсии являются выкуп ренты (замена ренты разовым платежом) и рассрочка платежа (замена разового платежа рентой).

Замена нескольких рент одной, параметры которой надо определить, называется консолидацией рент. Современная величина вновь образованной консолидированной ренты должна быть равна сумме современных величин консолидируемых рент:

, (5.14)

где А – современная величина консолидированной ренты;

–современная величина q-ой заменяемой ренты, q=1, 2, …, K;

–число консолидируемых рент;

–член q-ой ренты;

и – соответственно продолжительность и процентная ставкаq-ой ренты.

Член консолидированной немедленной ренты определяется по формуле:

, (5.15)

где – коэффициент приведения консолидированной ренты.

Член консолидированной отсроченной ренты определяется по формуле:

, (5.16)

где – коэффициент приведения отсроченной консолидированной ренты;

t – продолжительность отсрочки, лет;

–процентная ставка консолидированной ренты;

–дисконтный множитель за период t, на который отложена рента.

Срок консолидированной немедленной ренты определяется по формуле:

. (5.17)

Если процентные ставки объединяемых рент и вновь создаваемой равны между собой, т.е. , то

. (5.18)

Замена немедленной ренты на отсроченную, т.е. когда первый платеж по ренте переносится на более поздний срок в t лет. При этом возможны следующие варианты конверсии:

1) общая продолжительность ренты остается прежней, т.е. n₁ = n₂ = n, рентный платеж составит:

, (5.19)

где и– годовые платежи соответственно первоначальной и отсроченной ренты;

–коэффициент приведения первоначальной годовой ренты;

t - продолжительность отсрочки;

2) общая продолжительность ренты изменяется, т.е. , рентный платеж определяется по формуле:

, (5.20)

где и– коэффициенты приведения соответственно первоначальной и отложенной рент;

3) члены ренты остаются неизменными, т.е. , тогда срок отложенной ренты составит:

.

Замена годовой ренты на p-срочную. Годовая немедленная рента с параметрами ,заменяется наp-срочную с параметрами ,,p. Если заданы срок заменяющей ренты, ее периодичность и ставка, то

, (5.21)

где – коэффициент приведения годовой ренты;

–коэффициент приведения p-срочной ренты.

Если , то

. (5.22)

При изменении продолжительности ренты размер нового рентного платежа составит

. (5.23)

При изменении срочности ренты (числа выплат в году) годовой рентный платеж определяется по формуле:

, (5.24)

где и– характеристики срочности двух рент.

Пример 5.1 По условиям контракта платежи вносятся в конце года, первый платеж составляет 2 млн. руб., каждый год его величина возрастает на 200 тыс. руб., срок выплат 4 года, процентная ставка 8%. Определить наращенную сумму.

Решение. Параметры ренты:

руб.;;;руб.;

.

руб.

Пример 5.2 Клиентом получен кредит сроком на 7 лет, при следующих условиях погашения: первый платеж 2 млн. руб., каждый следующий возрастает на 10%, платежи вносятся два раза в году, процентная ставка 8% годовых. Определить размер полученного кредита и сумму долга, подлежащую возврату.

Решение. Параметры ренты:

руб.;;;;.

Размер полученного кредита – это современная стоимость ренты.

руб.

руб.