logo
Методичка ФВ для очников

Тема 3. Эквивалентность процентных ставок. Консолидация платежей

Для наращения и дисконтирования денежных сумм могут применяться различные виды процентных ставок. Часто требуется определить ставки, которые в конкретных условиях приводят к одинаковым финансовым результатам, когда замена одного вида ставки на другой, при соблюдении принципа эквивалентности, не изменяет финансовых отношений сторон в рамках одной операции.

Процентные ставки, обеспечивающие равноценность финансовых последствий называютсяэквивалентными. Эквивалентность ставок обеспечивается равенством множителей наращения или дисконтных множителей.

Таблица 3.1 – Эквивалентность процентных ставок

№ п/п

Вид ставки

Формула эквивалентности

1

2

3

4

1

Срок сделки выражен в годах (n)

(3.1)

(3.2)

Срок сделки выражен в месяцах (m)

(3.3)

(3.4)

Срок сделки выражен в днях (временная база для обеих ставок 360 дней)

(3.5)

(3.6)

Срок сделки выражен в днях (временная база для процентной ставки 365 дней, а для учетной ставки 360 дней)

(3.7)

(3.8)

2

(3.9)

(3.10)

3

(3.11)

(3.12)

4

(3.13)

(3.14)

5

(3.15)

(3.16)

6

(3.17)

(3.18)

1

2

3

4

7

(3.19)

(3.20

8

(3.21)

(3.22)

9

(3.23)

(3.24)

10

(3.25)

(3.26)

11

(3.27)

(3.28)

12

(3.29)

(3.30)

13

(3.31)

(3.32)

14

(3.33)

(3.34)

15

(3.35)

(3.36)

Пример 3.1Вексель учтен за год до даты его погашения по учетной ставке 15,0 %. Какова доходность учетной операции в виде процентной ставки?

Решение.По формуле 3.1 находим:

, или 17,647%.

Пример 3.2 Какой сложной годовой ставкой можно заменить в контракте простую ставку 18% (K=365), не изменяя финансовых последствий? Срок операции 580 дней.

Решение. Находим эквивалентную сложную ставку по формуле 3.9

или 17,153%.

Пример 3.3 При разработке условий контракта стороны договорились о том, что доходность кредита должна составлять 28% годовых. Каков должен быть размер номинальной ставки при начислении процентов ежемесячно, поквартально?

Решение.Воспользуемся формулой 3.20:

;.

Если в финансовой операции размер процентной ставки изменяется во времени, то все значения ставки можно обобщить с помощью средней.

Пусть за периоды начисляются простые проценты по ставкам.

Средние процентные ставки получим посредством приравнивания соответствующих множителей наращения друг к другу: ,

отсюда . Аналогично получим, (3.37)

где N=- общий срок наращения процентов,

и- средняя учетная и процентная ставка.

Если изменяются во времени и первоначальные суммы, то .(3.38)

Если усредняются переменные во времени ставки сложных процентов, то:

; (3.39)

. (3.40)

Пример 3.4Для первых двух лет ссуды применяется ставка 20%, для следующих трех лет она составляет 24%. Нужно найти среднюю ставку.

Решение.0,22384, или 22,384%.

Иногда меняются только суммы ссуд и проценты, а сроки операций равны.

Если применяются простые проценты, то . (3.41)

Когда усредняются сложные процентные ставки, то средняя ставка составит

. (3.42)

Часто возникает необходимость изменения условий ранее заключенных сделок: изменение сроков платежей, объединение нескольких платежей в один – консолидация платежей.

Пусть платежи со сроками выплатзаменяются одним в суммеи сроком. В этом случае возможны две постановки задачи: если задается срок, то находится сумма, и наоборот, если задана сумма консолидированного платежа, то определяется его срок.

Определение размера платежа

1) Если используется простая процентная ставка, а сроки объединяемых платежей меньше срока консолидированного платежа, то

, (3.43)

где - размеры объединяемых платежей со сроками<.

2) Если используется простая процентная ставка, а сроки объединяемых платежей как меньше, так и больше срока консолидированного платежа, то

, (3.44)

где Sj– размеры платежей со сроками погашенияnj <no,- размеры платежей со сроками>,,.

3) Если используется простая учетная ставка, а сроки объединяемых платежей меньше срока консолидированного платежа, то

. (3.45)

4) Если используется простая учетная ставка, а сроки объединяемых платежей как меньше, так и больше срока консолидированного платежа, то

. (3.46)

5) Если используется сложная процентная ставка, а сроки объединяемых платежей меньше срока консолидированного платежа:

, приno>nj. (3.47)

6) Если используется сложная процентная ставка, а сроки объединяемых платежей как меньше, так и больше срока консолидированного платежа:

, приnj<no<nк. (3.48)

7) Если используется сложная учетная ставка, а сроки объединяемых платежей меньше срока консолидированного платежа, то

. (3.49)

8) Если используется сложная учетная ставка, а сроки объединяемых платежей как меньше, так и больше срока консолидированного платежа:

. (3.50)

Определение срока консолидированного платежа

При начислении простых процентов срок консолидированного платежа noнаходится по формуле:

= , (3.51)

где Р0 – современная стоимость консолидируемых платежей,

.

При использовании сложных процентов:

, где . (3.52)

Эквивалентность сложных дискретных и непрерывных ставок

Обозначим силу роста через – b.

Эквивалентность сложной процентной ставки и силы роста:

; . (3.53)

Эквивалентность номинальной процентной ставки и силы роста:

; . (3.54)

Эквивалентность силы роста и учетной ставки:

; ; ;. (3.55)