1.4 Тренд во временном ряде

Для определения наличия тренда в исходном временном ряду применяется несколько методов, рассмотрим два из них.

Метод проверки разностей средних уровней

Реализация этого метода состоит из четырех этапов.

1. На первом этапе исходный временной ряд разбивается на две примерно равные по числу уровней части: в первой части n₁ первых уровней исходного ряда, во второй n₂ остальных уровней (n₁+ n₂ = n).

2. На втором этапе для каждой из этих частей вычисляются средние значения и дисперсии:

(13)

(14)

(15)

(16)

3. Третий этап заключается в проверке равенства (однородности) дисперсий обеих частей ряда с помощью F- критерия Фишера, которая основана на сравнении расчетного значения этого критерия:

(17)

С табличным (критическим) значением критерия Фишера с заданным уровнем значимости (уровнем ошибки) б.

4. На четвертом этапе проверяется гипотеза об отсутствии тренда с использованием t-критерия Стьюдента. Для этого определяется расчетное значение критерия Стьюдента по формуле:

(18)

где у - среднеквадратичное отклонение разности средних:

(19).

Метод Фостера--Стъюарта.

Этот метод обладает большими возможностями и дает более надежные результаты по сравнению с предыдущим. Кроме тренда самого ряда, он позволяет установить наличие тренда временного ряда: если тренда дисперсии нет, то рос уровней ряда постоянен; если дисперсия увеличивается, то ряд «раскачивается» и т. д.

Реализация метода также содержит четыре этапа.

1. На первом этапе производится сравнение каждого исходного временного ряда, начиная со второго уровня, со всеми предыдущими, при этом определяются две числовые последовательности.

2. На втором этапе вычисляются величины s и d:

(22)

(23)

Третий этап заключается в проверке гипотез:

o можно ли считать случайными отклонение величины s от величины м математического ожидания величины s для ряда, в котором уровни расположены случайным образом,

o можно ли считать случайными отклонение величины d от нуля.

Эта проверка проводится с использованием расчетных значений t-критерия Стьюдента для средней и для дисперсии:

(24)

(25)

(26)

(27)

где м -- математическое ожидание величины s, определенной для ряда, в котором уровни расположены случайным образом;

у₁ -- среднеквадратическое отклонение для величины s;

у₂ -- среднеквадратическое отклонение для величины d для удобства имеются табулированные значения величин м, у₁, у₂.

3. На четвертом этапе расчетные значения сравниваются t_s и t_d с табличным значением t-критерия Стьюдента с заданным уровнем значимости t_б. Если расчетное значение меньше табличного, то гипотеза об отсутствии соответствующего тренда принимается; в противном случае тренд есть.