4.1 Построение и анализ производственной функции строительного предприятия

Данный раздел курсовой работы предполагает построение производственной функции строительного предприятия исходя из следующих данных по выборкам за ряд периодов (табл. 1):

Y-индекс производства;

K-индекс основного капитала;

L-индекс труда;

Таблица 1.Исходные данные

Решение:

Статистический анализ

Статистический анализ данных по выборкам (меню:»Сервис»,»Анализ данных», «Описательная статистика»).Целью данного этапа является проверка выборки на однородность с тем, чтобы на последующих этапах на основании имеющихся данных составить регрессионное уравнение зависимости Y от K и L.

Из полученных данных выбираем характеристики выборок, представленные в табл.2

Таблица 2. Статистический анализ

По результатам проведенного анализа можно сделать выводы:

Стандартные отклонения выборок исходных данных по сравнению со значениями самих данных невелеки, то есть разброс точек в выборках невелик. Среднеквадратическое отклонение и дисперсия оценивают каждую выборку с точки зрения разброса данных относительно средневыборочного значения. Если эти показатели велики, то следует исключить из соответствующих выборок пиковые(максимальные и/или минимальные) значения.

Отклонения максимальных и минимальных значений выборок от соответствующих медиан и среднего значения также невелеки. Это означает, что точки выборок расположены достаточно плотно.Представленная выборка достаточно однородна. Следовательно, на ее основании можно проводить дальнейший корреляционно-регрессионный анализ.

Корреляционный анализ данных

Корреляционный анализ позволяет сделать вывод о силе взаимосвязи между парами данных. Для проведения корреляционного анализа необходимо рассчитать коэффициент корреляции, коэффициент Пирсона и Ф-тест.

Коэффициент корреляции (r) характеризует тесноту связи. Коэффициент корреляции лежит в пределах -1< r <1. В случае если r=0, связи нет. Если , то между двумя величинами существует сильная функциональная связь. При положительном r наблюдается прямая связь, т.е. с увеличением независимой переменной- x увеличивается зависимая- y. При отрицательном коэффициенте существует обратная связь, с увеличением независимой переменной зависимая переменная уменьшается. Связь считается сильной при , средней при , умеренной при слабой при очень слабой при

Для определения тесноты связи между изучаемыми показателями в Excel используется функция «Корреляция» пункта меню: «Сервис», «Анализ данных». Результат расчета по исходным данным представлен в табл. 3

Таблица 3. Расчет коэффициента корреляции

Коэффициент парной корреляции Y и K равен 0,31, что говорит о наличии слабой корреляционной зависимости этих выборок. Корреляция между Y и L также достаточно слабая, поскольку их коэффициент парной корреляции равен 0,28.

На основе безразмерных коэффициентов Пирсона оценивается степень линейной зависимости между двумя множествами данных( выборками). Иными словами, коэффициенты Пирсона позволяют сделать вывод о целесообразности использования линейной формы регрессионной взаимосвязи между результирующим и факторными показателями.

Определить численное значение коэффициента Пирсона можно с помощью функции «ПИРСОН» в разделе «Статистические». Коэффициенты Пирсона по своей величине небольшие (Y,K=0,31; Y,L=0,28). Это говорит о том, что, скорее всего, между результирующим показателем Y и факторными показателями K и L не существует устойчивой линейной зависимости.

Далее вычисляется значение функции Ф-критерий для выборок.

Ф-критерий-это результат дисперсионного анализа, позволяющий сделать вывод о степени влияния каждого факторного признака в совокупности выбранных для регрессионного моделирования на результирующий показатель. Чем больше влияние факторного признака на результирующий показатель, тем больше значение Ф-критерия.

Для вычисления Ф-критерия в системе электронных таблиц Excel предназначена функция «ФТЕСТ» из раздела «Статистические», использование которой аналогично работе с функцией «ПИРСОН». Пример результата расчета представлен в табл.4

Таблица 4. Результаты корреляционного анализа данных

В соответствии с результатами применения Ф-критерия следует, что влияние факторных признаков на результирующий в совокупности выбранных невелико, т.е при наличии совокупности некоторых других признаков факторные показатели K и L могли бы быть исключены из дальнейшего рассмотрения как малозначащие для содержательного анализа производственного процесса и замены на другие, более значимые. Однако в силу условности примера, которая отмечалась выше, и отсутствия других данных в заданиях эти факторы будут оставлены.

Регрессионный анализ данных и выбор формы производственной функции

На этом этапе необходимо обосновать представление производственной функции в линейном или степенном виде.

Степенной вид производственной функции:

где a0, a1, a2-коэффициенты регрессии.

Линейный вид производственной функции:

где a0 =0.

Для построения степенной регрессионной зависимости необходимо исходную формулу прологарифмировать, что приведет к представлению новой зависимости в линейной форме При возврате к степенной зависимости необходимо помнить, что .

Анализ формы взаимосвязи между факторами проводится с помощью функции «Регрессия» пункта меню:«Сервис», «Анализ данных».

Аналогично проводится регрессионный анализ с использованием степенной формы зависимости. Результаты анализа обобщаются и сводятся в табл.5.

Таблица 5.Регрессионный анализ производственной функции

Функция имеет вид:

-линейная: Y=0,178K+3,370L;

-степенная: Y=2,438K0,113 L0,085

Дальнейший анализ уравнений регрессии сводится к определению наиболее достоверной формы аппроксимации исходных данных по ряду критериев.

Ошибка прогнозирования (определение качества построенной модели)

Стандартные ошибки дают представление о приблизительной величине ошибки прогнозирования. Чем меньше соответствующие величины, тем более точно построенное уравнение аппроксимирует фактические данные.

Стандартные ошибки коэффициентов А1 и А2 для линейной зависимости незначительны (1,128 и 0,158). Вместе с тем стандартные ошибки коэффициентов степенной зависимости (0,086 и 0,330) существенно ниже, что говорит о предпочтительности выбора степенной зависимости для моделирования рассматриваемого производственного процесса.

При этом следует обратить внимание на сравнение стандартной ошибки модели (2,272 и 0,135) со стандартным отклонением для Y, полученным на 1-ом этапе (1,94). При правильно подобранных факторах стандартная ошибка модели оказывается, как правило, меньше стандартного отклонения для Y. В разобранном примере для линейной зависимости 2,272>1,94, что подтверждает вывод, полученный на втором этапе анализа о том, что между результирующим показателем Y и факторными показателями K и L не существует устойчивой линейной зависимости. Для степенной зависимости 0,135<1,94, что позволяет сделать вывод о предпочтительности использования степенной функции.

Коэффициент детерминации указывает, какой процент вариации функции Y объясняется воздействием факторов K и L. Коэффициент детерминации изменяется от 0 до 1, и чем ближе значение данного коэффициента к 1, тем удачнее выбранная форма регрессионной зависимости аппроксимирует данные. В разобранном примере для линейной модели коэффициент детерминации равен 0,975, что можно трактовать следующим образом: исследуемые факторы (K и L) объясняют 97,5% исследуемой функции, что является явно достаточным, чтобы модель считалась достоверной. Для степенной функции коэффициент детерминации составляет 0,189, что является недостаточным для достоверности модели.

Общая проверка полученной модели на надежность

Такую проверку проводят при помощи F-критерия Фишера: чем больше превышает расчетное значение критерия табличное (табл. 6), тем менее надежна выбранная модель. При этом для анализа используется F, обратный тому, который посчитал Excel.

При проверке надежности моделей по F-статистике получаем следующие результаты: как для линейной, так и для степенной зависимости табличное значение 3,88.

Таблица 6.Значение F-критерия для уровня значимости б=0,05 и числа степеней свободы f

Примечание: числитель f1=k, знаменатель f2=n-k-1, где n-число опытов; k-число изучаемых факторов.

Для линейной зависимости 3,88>1,114=1/0,897. Для степенной зависимости 3,88<18,86=1/0,053.Следовательно, степенная зависимость обладает слабой надежностью, а линейная достаточно надежна, поэтому в качестве производственной функции более целесообразно выбрать линейную форму регрессионной взаимосвязи.

Экономический анализ производственной функции

По результатам расчета можно сделать следующие выводы:

-рост основного капитала на 1% обеспечивает рост производства на 0,113%;

-рост трудовых ресурсов на 1% обеспечивает рост производства на 0,085%;

-при одновременном росте на 1% и основного капитала и труда рост производства составит 0,113+0,085=0,198%. Так как 0,198<1, то имеет место отрицательный эффект от расширения производства, то есть увеличение ресурсов в k раз приводит к увеличению производства менее, чем в k раз.

Далее проводятся имитационные расчеты планируемых вариантов изменения производства. Допустим, что в базовом периоде выпускалось 10 ед. продукции, т.е Y0=10. Планируется в следующем плановом периоде увеличить объем выпуска продукции на на 25%, т.е выпускать соответственно 12,5 ед. предполагается, что ограничений по ресурсам нет. Необходимо определить, насколько надо увеличить индекс труда и индекс основного капитала.