Третья задача анализа на чувствительность

Изменение коэффициентов целевой функции приводит к вращению целевой прямой c₁x₁+c₂x₂=f(x^*) вокруг точки x^* оптимального решения. При увеличении c₁ или уменьшении c₂ целевая прямая вращается по часовой стрелке; при уменьшении c₁ или увеличении c₂ целевая прямая вращается против часовой стрелке (рис. 4). Таким образом, точка x^* будет оставаться оптимальной до тех пор, пока наклон целевой прямой не выйдет за пределы, определяемые наклонами прямых, соответствующих связывающим ограничениям (ограничениям (1) и (3) на рис. 4). Как только наклон целевой прямой выйдет за пределы указанного диапазона, получим некоторое новое оптимальное решение (точка (2,5; 0) или точка (0, 2) на рис. 4).

Рис. 4

Совпадение в процессе вращения целевой прямой с прямой ограничения означает, что углы их наклона относительно оси абсцисс стали равны, а значит, стали равны тангенсы углов наклона этих прямых.

Обозначим через α₀ угол наклона целевой прямой к оси абсцисс, через α_i – угол наклона прямой i-го, ограничения к оси абсцисс.

Нетрудно заметить, что

tg α₀=c₁/c₂;

tg α_i=a_i1/a_i2,

Методика определения границ допустимого диапазона изменения коэффициента c_j, j=1,2, заключается в следующем.

1. Фиксируют значение второго коэффициента целевой функции.

2. Приравнивают тангенс угла наклона целевой прямой поочередно к тангенсам углов наклона прямых для связывающих ограничений.

Обратимся к иллюстративному примеру. Определим границы допустимого диапазона изменения c₁ – min c₁ и max c₁.

Зафиксируем c₂=1. На рис. 4 видно, что min c₁ определяется из условия совпадения целевой прямой с прямой (3):

tg α₀= tg α₃, → c₁/c₂= a₃₁/a₃₂ → min c₁=1/2,

а max c₁ определяется из условия совпадения целевой прямой с прямой (1):

tg α₀= tg α₁, → c₁/c₂= a₁₁/a₁₂ → max c₁=2.

Таким образом, если коэффициент c₁ целевой функции будет изменяться в диапазоне 1/2< c₁<2, то оптимальное решение задачи не изменится. Если c₁ станет меньше 1/2 (c₁<1/2), то оптимальным решением станет точка (0, 2); если c₁ станет больше 2 (c₁>2), то оптимальным решением станет точка (2,5; 0).