1.1 Поведение домохозяйств

Мы полагаем, что домохозяйства действуют по модели Хансена и др. [17] с неделимым трудом и бесконечно живущими агентами и добавляем государственные расходы в функцию полезности домохозяйств, полагая, что чем больше государство тратит государственных расходов, тем лучше домохозяйствам. Таким образом, дисконтированная функция полезности репрезентативного домохозяйства в следующим образом:

где - фактор дисконтирования в период j, - потребление i-ого домохозяйства в период t+j, - количество часов труда, которое было затрачено репрезентативным домохозяйством i в период времени t+j, - потребление государственных расходов, B- коэффициент, характеризующий степень склонности к труду. Домохозяйства поставляют свои услуги труда фирмам, которые производят продукцию.

Потребители, т.е. домохозяйства, идентичны с множеством мощности континуума . То есть на этом интервале представлены все домохозяйства в экономике. Данное предположение делается для того, чтобы была возможность в дальнейшем без технических трудностей агрегировать переменные. То же самое свойство характерно для капитала, времени, затраченного на труд, отечественных облигаций, уровню денежной массы, государственных расходов. Более подробно эти переменные описаны ниже.

Как и в статье [8] мы полагаем, что каждый период времени домохозяйства начинают с денежными средствами, равными , которые домохозяйства отложили в предыдущем периоде, чтобы потребить в этом периоде. Так же, в каждый период времени домохозяйства получают денежные трансферты , где - денежная масса на душу населения в период времени t-1. Так как в данной экономике домохозяйства представлены множеством мощности континуума [0,1], переменные на душу населения будет равняться агрегированным переменным. Денежная масса в экономике изменяется согласно закону , где -темп роста денежной массы. Таким образом, репрезентативное домашнее хозяйство максимизируют свою функцию полезности при условии межпериодного выбора денежных средств (cash-in-advance constraint, далее CIA ограничение) , т.е. :

где - ставка налога на потребление репрезентативного домохозяйства, - реальные денежные балансы на конец периода t-1, которыми домохозяйства могут воспользоваться в текущем периоде, - денежные трансферты от государства, - валовый роста денежной массы в период t. Смысл введения данного ограничения заключается в следующем: домохозяйства могут тратить на потребление только деньги, которые у них остались из предыдущего периода и деньги, которые им выдали в виде трансфертов монетарные органы власти. Мы вводим эту жёсткость цен для того, чтобы, во-первых, позволить домохозяйствам откладывать деньги на будущие периоды, что близко к реальному рациональному поведению домохозяйств, и, во-вторых, чтобы обеспечить динамику денежных средств, которая будет задавать необходимую для анализа монетарной политики инфляцию. По сравнению с жёсткостью цен по Кальво [4], введение CIA ограничения, во-первых, намного проще с технической точки зрения, и, во-вторых, данное ограничение обеспечивает необходимый механизм, а именно - непостоянность цен в экономике.

Межвременное бюджетное ограничение домохозяйств задаётся следующим образом:

В каждый период времени домохозяйство тратит свой доход на:

1) потребление в реальном выражении, которое, государство облагает налогом по ставке на каждое домохозяйство,

2) инвестиции в капитал будущего периода ,

3) формирование денежных средств в реальном выражении , которые будут перенесены в следующий период времени,

4) на покупку отечественных облигаций в реальном выражении в размере

Доход формируется на основе

1) реального трудового дохода за отработанное время по ставке

2) реальной отдачи (дохода) от капитала по ставке

3) владения капиталом, который остался после амортизации

4) реального дохода от отечественных облигаций, которые были куплены в период времени t-1 и проданы в период времени t с процентным доходом, равным

5) денежных средств, которые были получены с прошлого периода и денежных трансферт монетарных властей.

Стоит заметить, что мы полагаем, что фискальные органы власти заботиться об эффективности налогообложения домохозяйств и о благосостоянии домохозяйств. Поэтому в соответствии с [7] для большего обеспечения благосостояния домохозяйств, что государство взымает налог только с потребления , и не облагает домохозяйства налогом на труд.

Для того, чтобы можно было найти стационарное состояние и чтобы не допустить взрывную динамику переменных, описанных в [8], мы нормируем номинальные переменные к уровню денежной массы, т.е.

.

Тогда CIA ограничение запишется в виде:

Бюджетное ограничение запишется в виде:

Каждый период времени репрезентативное домохозяйство максимизирует свою функцию полезности, выбирая значения потребления , количество затраченных рабочих часов , количество инвестиций в следующий период , количество облигаций , денежные балансы , которые домохозяйства сэкономят в этом периоде и перенесут на следующий период.

Тогда мы можем решить задачу максимизации через множители Лагранжа с учётом бюджетного ограничения и ограничения cash-in-advance. Лагранжиан запишется в виде:

Преобразовав эти уравнения, получим 4 уравнения без учёта ограничений:

= в ( + (1 - д)

* + =0;

= в (1 + )

Где - оператор математического ожидания в период t.