3.2 Решение задачи
Пользуясь исходными данными, строим матрицу игры. Стратегиями игрока 1 (человек) являются различные показатели количества тонн угля, которые ему, возможно, следует купить. Состояниями природы выступают вероятности видов зимы.
Вычислим, например, показатель для холодной зимы. Игрок 1 приобрел уголь для обычной зимы 5 т по цене 6 грн. за 1 т. Для обогрева он должен закупить еще 1 тонну по цене 8 грн за 1т.
Следовательно, расчет платы за уголь будет 5 6 - при заготовке, и зимой 8 1. Аналогично производятся расчеты при других сочетаниях.
В итоге получим следующую платежную матрицу в игре с природой платежную матрицу (табл. 3.2).
Таблица 3.2.
|
Вероятность Зима |
0,35 |
0,5 |
0,15 |
|
|
Мягкая |
Обычная |
Холодная |
||
|
Мягкая (4т) |
-(4 6) |
-(4 6 + 1 7,5) |
-(4 6 + 2 8) |
|
|
Обычная (5 т) |
-(5 6) |
-(5 6 + 0 7,5) |
-(5 6 + 1 8) |
|
|
Холодная (6 т) |
-(6 6) |
-(6 6 + 0 7,5) |
-(6 6 + 0 8) |
Произведем расчет ожидаемой средней платы за уголь (табл. 3.3).
Таблица 3.3
|
Зима |
Средняя ожидаемая плата |
|
|
Мягкая |
-(24 0,35 + 31,5 0,5 + 40 0,15) = -30,15 |
|
|
Обычная |
-(30 0,35 + 30 0,5 + 38 0,15) = -31,2 |
|
|
Холодная |
-(36 0,35 + 36 0,5 + 36 0,15) = - 36 |
Как видно из табл. 3.3, наименьшая ожидаемая средняя плата приходится на случай мягкой зимы (30,15 грн.). Соответственно если не учитывать степени риска, то представляется целесообразным летом закупить 4 т угля, а зимой, если потребуется, докупить уголь по более высоким зимним ценам.
Однако, привлекая дополнительную информацию в форме расчета среднеквадратичного отклонения как индекса риска. Мы можем уточнить принятое на основе максимума прибыли или минимума издержек решение. Дополнительные рекомендации могут оказаться неоднозначными, зависящими от склонности к риску ЛПР.
Формулы теории вероятности:
Дисперсия случайной величины о равна
Среднеквадратичное отклонение составит
где D и М - соответственно символы дисперсии и математического ожидания.
Проводя соответственно вычисления для всех случаев по такому принципу:
Мягкая зима:
М(о2) = - (242 0,35 + 31,52 0,5 + 402 0,15) = - 937,725
(Мо)2 = -(30,152 ) = - 909,0225
Dо =937,725- 909,0225 = 28,7025
= 5,357
Если продолжить исследование процесса принятия решения и вычислить среднеквадратичные отклонения платы за уголь для мягкой, обычной и холодной зимы, то соответственно получим:
* для мягкой зимы = 5,357;
* для обычной зимы = 2,856;
* для холодной зимы = 0.
Минимальный риск, естественно, будет для холодной зимы, однако при этом ожидаемая средняя плата за уголь оказывается максимальной - 36 ф. ст.
Вывод. Мы склоняемся к варианту покупки угля для обычной зимы, так как ожидаемая средняя плата за уголь по сравнению с вариантом для мягкой зимы возрастает на 3,5%, а степень риска при этом оказывается почти в 2 раза меньшей ( = 2,856 против 5,357).
Отношение среднеквадратичного отклонения к математическому ожиданию, вариабельность (средний риск на затрачиваемый 1 ф. ст.) для обычной зимы составляет 2,856/31,2 = 0,0915 против аналогичного показателя для мягкой зимы, равного 5,357/30,15 = 0,1777, т.е. вновь различие почти в 2 раза.
Эти соотношения и позволяют рекомендовать покупку угля, ориентируясь не на мягкую, а на обычную зиму.