4.1 Анализ основных фрактальных характеристик финансовых рядов

На сегодняшний день основная масса литературы, посвященной рыночной экономике, основывается на линейных моделях. Такие модели имеют ограниченную пользу, не отвечают реальному поведению рынка, не дают объяснений внезапных сильных колебаний на финансовых рынках. Можно отметить разрыв между действительными экономическими реалиями и экономическими теориями.

В последнее время все большее внимание уделяется исследованию финансовых временных рядов с точки зрения теории хаоса [32-35]. Это достаточно новая область, которая представляет собой активно развивающийся раздел математических методов экономики. Математическая теория хаоса, являющаяся одним из направлений нелинейной динамики, позволяет выявить сущность глубинных экономических процессов, часто скрытых и неявных, и разработать основу для принятия решений [36, 37]. Возрастание интереса к нелинейной динамике можно связать в основном с двумя факторами - широким распространением и доступностью мощных персональных компьютеров и осознанием важности изучения динамики хаотических систем. Появление ПК вызвало к жизни экспериментальные исследования, которые оказались необходимы ввиду неполноты теоретических представлений в данной области. Обнаруженные на практике хаотические системы породили весьма важные, трудные, но интересные задачи на всех уровнях - от самых абстрактных математических до конкретных задач прикладной физики.

Можно выделить два основных этапа в развитии нелинейной динамики: [38, 39]:

1) Этап диссипативных структур (1950-1980-е гг.). Понятие «диссипативные структуры» было введено И. Пригожиным [40], основателем современной теории сложности, нобелевским лауреатом, и относится, прежде всего, к диссипативным процессам (то есть к процессам вязкости, диффузии, теплопроводности). Такие процессы позволяли исследуемым системам «забыть» начальные данные и сформировать с течением времени подобные стационарные структуры. Задача анализа сводилась к определению изменения и конфигурации структур при вариации внешних параметров и начальных данных.

Соответствующий математический аппарат нелинейной динамики на этом этапе определялся качественной теорией ветвлений решений дифференциальных уравнений. Эти разделы математики интенсивно разрабатывались со времен А. Пуанкаре (конца XIX века), успешно применялись в теории колебаний, что не в последнюю очередь обеспечило первые успехи синергетики.

Математическими образами эпохи стали притягивающие множества (аттракторы) в фазовом пространстве, при этом простейшим аттракторам - неподвижным точкам - соответствовали стационарные, не меняющиеся со временем структуры, а с 70-х годов XX века - более сложные структуры - аттракторы, предельные циклы - различные периодические волновые процессы.