Решение многокритериальной задачи

Задание 6.1. Решение многокритериальной задачи методом свертки критериев

Решение многокритериальной задачи осуществлялось относительно следующих целевых функций:

Выручка (тыс. руб.):

f₁(x) = 14x₁+19x₂+22x₃

Себестоимость (тыс. руб.):

f₂(x) = 10x₁ + 17x₂ + 18x₃ → min

Ограничения:

2х₁ + х₂ + 3х₃ ≤ 27

2х₁ + х₂ + 4х₃ ≤ 35

3х₁ + 2х₂ + 6х₃ = 44

х₁, х₂, х₃ ≥ 0

Нормирование функций не требуется, т.к. они имеют одинаковые единицы измерения тыс. руб.

Вводим новую функцию:

F(x) = (14x₁+19x₂+22x₃)*a2 - (10x₁ + 17x₂ + 18x₃ )*a1

С помощью Поиска решения получаем таблицу значений переменных и функций:

Задание 6.2. Решение многокритериальной задачи методом главного критерия

Решение многокритериальной задачи осуществлялось относительно следующих целевых функций:

Главный критерий – выручка (тыс. руб.):

f₁(x) = 14x₁ + 19x₂ + 22x₃ → max

Cебестоимость (тыс. руб.):

f₂(x) = 10x₁ + 17x₂ + 18x₃ → min

Критерий себестоимости был использован при решении задачи в качестве ограничения. Для этого с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения» были определены максимальное и минимальное значение функции себестоимости:

f₂(x)_max = 374

f₂(x)_min = 132

Полученные значения позволяют определить правую часть ограничения, полученного при использовании функции себестоимости: d₁ = 200.

При этом условие задачи выглядит следующим образом:

f₁(x) = 14x₁ + 19x₂ + 22x₃ → max

2 x₁ + x₂ + 3x₃ ≤ 27

2x₁ + x₂ + 4x₃ ≤ 35

3x₁ + 2x₂ + 6x₃ = 44

10x₁ + 17x₂ + 18x₃ ≤ 200

x₁, x₂, x₃ ≥ 0

При решении данной задачи с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения» был получен оптимальный план указанной задачи: Х₁^* = (10; 5,27; 0,58),

f₁ (Х₁^*) = 252,8, f₂ (Х₁^*) = 200.

Возьмем d₂ = 270, в этом случае условие задачи выглядит следующим образом:

f₁(x) = 14x₁ + 19x₂ + 22x₃ → max

2 x₁ + x₂ + 3x₃ ≤ 27

2x₁ + x₂ + 4x₃ ≤ 35

3x₁ + 2x₂ + 6x₃ = 44

10x₁ + 17x₂ + 18x₃ ≤ 101

x₁, x₂, x₃ ≥ 0

При решении данной задачи с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения» был получен оптимальный план указанной задачи: Х₂^* = (6,7; 11,9; 0),

f₁ (Х₂^*) =320,7, f₂ (Х₂^*) = 270.

Возьмем d₃ = 370, в этом случае условие задачи выглядит следующим образом:

f₁(x) = 14x₁ + 19x₂ + 22x₃ → max

2 x₁ + x₂ + 3x₃ ≤ 27

2x₁ + x₂ + 4x₃ ≤ 35

3x₁ + 2x₂ + 6x₃ = 44

10x₁ + 17x₂ + 18x₃ ≤ 101

x₁, x₂, x₃ ≥ 0

При решении данной задачи с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения» был получен оптимальный план указанной задачи: Х₃^* = (0,26;21,6; 0),

f₁ (Х₃^*) =414,26, f₂ (Х₃^*) = 370.

Вывод: при увеличении предельной величины d функции f₂ (х), т.е. себестоимости, значение функции f₁(х), т.е. выручки, также увеличивается. При этом для получения максимальной выручки необходимо уменьшать объем производства изделия вида А, и увеличивать объем производства изделия вида В, изделие С при этом лучше вообще не производить.

Задание 6.3. Решение многокритериальной задачи методом последовательных уступок

Решение многокритериальной задачи осуществлялось относительно следующей целевой функции:

Выручка (тыс. руб.):

f₁(x) = 14x₁ + 19x₂ + 22x₃ → max

2 x₁ + x₂ + 3x₃ ≤ 27

2x₁ + x₂ + 4x₃ ≤ 35

3x₁ + 2x₂ + 6x₃ = 44

x₁, x₂, x₃ ≥ 0

С помощью надстройки MS Excel «Поиск решения» был получен оптимальный план указанной задачи: Х₁* = (0; 22; 0), f₁(Х₁^*) = 418.

После этого была решена однокритериальная задача на функцию себестоимости с добавлением дополнительного ограничения на предшествующий критерий – функцию выручки f₁(x):

Cебестоимость (тыс. руб.):

f₂(x) = 10x₁ + 17x₂ + 18x₃ → min

2x₁ + x₂ + 3x₃ ≤ 27

2x₁ + x₂ + 4x₃ ≤ 35

3x₁ + 2x₂ + 6x₃ = 44

14x₁ + 19x₂ + 22x₃ ≥ 418

x₁, x₂, x₃ ≥ 0

2 x₁ + x₂ + 3x₃ ≤ 27

2 x₁ + x₂ + 4x₃ ≤ 35

3x₁ + 2x₂ + 6x₃ = 44

14x₁ + 19x₂ + 22x₃ ≥ 14∙0+19∙22+22∙0

x₁, x₂, x₃ ≥ 0

При решении данной задачи с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения» был получен оптимальный план указанной задачи: Х₁* = (0; 22; 0),

f₂(Х₁^*) = 374.

Вычтем из последнего ограничения допустимую величину h, ухудшая значение первого критерия, т.е. выручки.

Пусть h₁ = 68 (максимум выручки составит 350 тыс. руб.), тогда:

f₂(x) = 10x₁ + 17x₂ + 18x₃ → min

2 x₁ + x₂ + 3x₃ ≤ 27

2x₁ + x₂ + 4x₃ ≤ 35

3x₁ + 2x₂ + 4x₃ = 44

14x₁ + 19x₂ + 22x₃ ≥ 350

x₁, x₂, x₃ ≥ 0

При решении данной задачи с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения» был получен оптимальный план указанной задачи: Х₁* = (4,69; 14,97; 0),

f₂(Х₁^*) = 301,31.

При полученном оптимальном плане значение критерия себестоимости уменьшилось, также уменьшилось и значение критерия выручки.

Пусть h₂ = 88 (максимум выручки составит 330 тыс. руб.), тогда:

f₂(x) = 10x₁ + 17x₂ + 18x₃ → min

2 x₁ + x₂ + 3x₃ ≤ 27

2x₁ + x₂ + 4x₃ ≤ 35

3x₁ + 2x₂ + 4x₃ = 44

14x₁ + 19x₂ + 22x₃ ≥ 330

x₁, x₂, x₃ ≥ 0

При решении данной задачи с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения» был получен оптимальный план указанной задачи: Х₃* = (6,07; 12,9; 0),

f₂(Х₃^*) = 279,9.

Пусть h₃ = 108 (максимум выручки составит 310 тыс. руб.), тогда:

f₂(x) = 6x₁ + 10x₂ + 12x₃ → min

2 x₁ + x₂ + 3x₃ ≤ 24

2x₁ + 2x₂ + 4x₃ ≤ 30

3x₁ + 2x₂ + 4x₃ = 34

10x₁ + 13x₂ + 14x₃ ≥ 120

x₁, x₂, x₃ ≥ 0

При решении данной задачи с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения» был получен оптимальный план указанной задачи: Х₄* = (6,9; 11,6; 0),

f₂(Х₄^*) = 267,1.

Вывод: при увеличении уступки для критерия выручки, значение критерия себестоимости уменьшается. При увеличении уступки объем выпуска изделий вида А увеличивается, а изделий вида В – снижается, изделия вида С не производятся.

Задание 6.4. Решение многокритериальной задачи модифицированным методом идеальной точки

Решение многокритериальной задачи осуществлялось относительно следующих критериев:

Выручка (тыс. руб.):

f₁(x) = 14x₁ + 19x₂ + 22x₃ → max

Cебестоимость (тыс. руб.):

f₂(x) = 10x₁ + 17x₂ + 18x₃ → min

С помощью надстройки MS Excel «Поиск решения» были определены оптимальные значения указанных функций:

F₁* = 418

F₂* = 132

С(х) = x₄ → min

2 x₁ + x₂ + 3x₃ ≤ 27

2x₁ + x₂ + 4x₃ ≤ 35

3x₁ + 2x₂ + 6x₃ = 44

-418 +14x₁ + 19x₂ + 22x₃ ≤ x₄

132 - 10x₁ - 17x₂ - 18x₃ ≤ x₄

x₁, x₂, x₃, x₄ ≥ 0

2 x₁ + x₂ + 3x₃ ≤ 24

2x₁ + x₂ + 4x₃ ≤ 30

3x₁ + 2x₂ + 6x₃ = 34

14x₁ + 19x₂ + 22x₃ – x₄ ≤ –418

-10x₁ - 17x₂ - 18x₃ – x₄ ≤ -132

x₁, x₂, x₃, x₄ ≥ 0

При решении данной задачи с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения» был получен следующий оптимальный план, при котором значение каждого критерия не может быть улучшено без ухудшения значения другого критерия: Х^* = (0; 0; 7,33; 579,33), при этом f₁(Х^*) = 161,33, f₂(Х^*) = 132.

Задание 7. Сведение результатов МКЗ в таблицу