5.4.МетодМонте-Карло(методстатистическихиспытаний).

Ме́тод Мо́нте-Ка́рло (методы Монте-Карло, ММК) — общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализаций стохастического (случайного) процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с аналогичными величинами решаемой задачи. Используется для решения задач в различных областях физики, химии,математики, экономики, оптимизации, теории управления и др.

Суть метода состоит в том, что посредствам специальной программы на ЭВМ вырабатывается последовательность псевдослучайных чисел с равномерным законом распределения от 0 до1. Затем данныечисла с помощью специальных программ преобразуются в числа, распределенные по закону Эрланга, Пуассона, Релея и т.д.

Полученные таким образом случайные числа используются в качестве входных параметров экономических систем :

При многократном моделировании случайных чисел, которые мы используем в качестве входных параметровсистемы (модели), определяем математическое ожидание функции M(Q) и, при достижении средним значением  функции Q уравнения не ниже заданного, прекращаем моделирование.

Статистические испытания (метод Монте-Карло) характеризуются основными параметрами:

D - заданная точность моделирования;

P – вероятность достижения заданной точности;

N – количество необходимых испытаний для получения заданной точности с заданной вероятностью.

Определим необходимое число реализаций N, тогда

(1 - D) будет вероятность того, что при одном испытании результат не достигает заданной точности D;

(1 - D) N – вероятность того, что при N испытаниях мы не получим заданной точности D.

Тогда вероятность получения заданной точности при N испытаниях можно найти по формуле

Формула (19) позволяет определить заданное число испытаний для достижения заданной точности D с заданной вероятностью Р.

Случайные числа получаются в ЭВМ с помощью специальных математических программ или спомощью физических датчиков. Одним из принципов получения случайных чисел является алгоритм Неймана, когда из одного случайного числа  последовательно выбирается середина квадрата

g₀ = 0,9876             g₀ ² = 0,97531376

g₁ = 0,5313             g₁²  = 0,28654609

g₂ = 0,6546             g₂²  = 0,42850116  и т.д.

Кроме того данные числа проверяются на случайность и полученные числа заносятся в базу данных.

Физические датчики разрабатываются на электронных схемах и представляют собой генераторы белого (нормального) шума, то есть когда в спектральном составе шума имеются гармоничные составляющие с частотой F  ®¥. Из данного белого шума методом преобразования получаются случайные числа.

32.МетодМаксимальногоправдоподобия.

Методмаксимальногоправдоподобия

етод максимального правдоподобия

          Оценкой максимального правдоподобия неизвестного параметра по группированным наблюдениям называется такое значение параметра, при котором функция правдоподобия

,                          (1.2.1)

где   - некоторая константа и   - вероятность попадания на­­блю­дения в  -ый  интервал значений, достигает максимума на множестве возможных зна­чений параметра. Здесь предполагается, что для всех    . Для вычисления ОМП дифференцируют функ­цию правдоподобия по   и, приравнивая производные нулю, получают систему уравнений правдоподобия

,

где   - размерность вектора параметров  .

          Функция правдоподобия для частично группированной выборки имеет вид

,

система уравнений правдоподобия

,

где   - функция плотности случайной величины, (1) и (2) означают, что суммирование и умножение осуществляются по интервалам с группированными и негруппированными данными соответственно.

          В случае достаточно больших   при определенных условиях регулярности для функции плотности ОМП существует практически всегда, состоятельна и асимптотически эффективна. Условия существования, асимптотической эффек­тив­ности и состоятельности по группированным и цензурированным выборкам рассматривались в работах Г. Куллдорфа и Н.А. Бодина. Г.Г. Зачепой были получены условия существования ОМП основных параметров распределения Вейбулла и гамма-рас­пре­де­ления. В наших работах получены условия сущест­вования и единственности ОМП для параметров ряда непрерывных законов распределения случайных величин.

          Вообще говоря, метод максимального правдоподобия требует значительного объема вычислений. А в случае группированных или частично группированных данных возникает необходимость в решении задач численного интегрирования, в том числе, и вычисления несобственных интегралов. Именно трудности вычисли­тельного характера, особенно в ситуации группированных и частично группиро­ванных данных, ограничивали использование метода максимального правдоподобия.

          Существует большое число работ, в которых рассматривается вычисление приближенных оценок максимального правдоподобия. В этом случае исходная группированная выборка заменяется негруппированной, в которой индивидуальным значениям присваиваются значения центров интервалов группирования при их равной длине. Далее вычисляются оценки, а затем выводятся выражения для поправок к полученным оценкам.

          Описанные в данном разделе методы вычисления оценок параметров распределений далеко не представляют собой полный перечень всех возможных методов, да эта цель и не преследовалась.

33.Методнаименьшихквадратов.

Метод наименьших квадратов (МНК, OLS, Ordinary Least Squares) — один из базовых методоврегрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным. Метод основан на минимизации суммы квадратов остатков регрессии.

Необходимо отметить, что собственно методом наименьших квадратов можно назвать метод решения задачи в любой области, если решение заключается или удовлетворяет некоторому критерию минимизации суммы квадратов некоторых функций от искомых переменных. Поэтому метод наименьших квадратов может применяться также для приближённого представления (аппроксимации) заданной функции другими (более простыми) функциями, при нахождении совокупности величин, удовлетворяющих уравнениям или ограничениям, количество которых превышает количество этих величин и т.д.

Суть метода наименьших квадратов (МНК).  Задача заключается в нахождении коэффициентов линейной зависимости, при которых функция двух переменных а и b   принимает наименьшее значение. То есть, при данных а иb сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от найденной прямой будет наименьшей. В этом вся суть метода наименьших квадратов. Таким образом, решение примера сводится к нахождению экстремума функции двух переменных. Вывод формул для нахождения коэффициентов.  Составляется и решается система из двух уравнений с двумя неизвестными. Находим частные производные функции   по переменным а и b, приравниваем эти производные к нулю. Решаем полученную систему уравнений любым методом (например методом подстановки или методом Крамера) и получаем формулы для нахождения коэффициентов по методу наименьших квадратов (МНК). При данных а и b функция   принимает наименьшее значение. Доказательство этого факта приведено ниже по тексту в конце страницы . Вот и весь метод наименьших квадратов. Формула для нахождения параметра a содержит суммы  ,  ,  ,   и параметр n - количество экспериментальных данных. Значения этих сумм рекомендуем вычислять отдельно. Коэффициент b находится после вычисления a.

34.ДвухшаговыйМ.Н.К.

Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК)  использует следующую центральную идею: на основе приведенной формы модели  получают для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных , содержащихся в правой части уравнения. Затем они подставляются вместо фактических значений и применяют обычный МНК  к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения. В свою очередь, сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов: либо все уравнения системы сверхидентифицируемы, либо же система содержит наряду со сверхидентифицируемыми и точно идентифицируемые уравнения. В первом случае, если все уравнения системы сверхидентифицируемые, для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений.

Структурная модель  — это система совместных уравнений, каждое из которых нужно проверять на идентификацию. Вся модель считается идентифицируемой , если идентифицируемо каждое уравнение системы. Если неидентифицируемо хотя бы одно из уравнений системы, то вся система неидентифицируема . Сверхидентифицируемая модель  должна содержать хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение. Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих во всей системе в целом, равнялось числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Необходимое условие идентификации  — это выполнение счетного правила. Если число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе, увеличенное на единицу, равно числу эндогенных переменных в уравнении, то уравнение идентифицируемо. Если меньше — неидентифицируемо, если больше — сверхидентифицируемо.

Это простое условие является всего лишь необходимым. Оно недостаточно. Достаточным является более сложное условие идентификации, которое накладывает определенные условия на коэффициенты матриц параметров структурной модели. Уравнение идентифицируемо, если определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, которые отсутствуют в исследуемом уравнении, но наличествуют в других уравнениях системы, не равен нулю и при этом ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.

Помимо уравнений, параметры которых необходимо оценить, в эконометрических моделях используют и балансовые тождества переменных , коэффициенты при которых равны по модулю единице. Понятно, что само тождество не нужно проверять на идентификацию, т.к. коэффициенты в тождестве известны. Но в проверке самих структурных уравнений системы тождества участвуют. Наконец, ограничения могут накладываться также на дисперсии  и ковариации остаточных величин.

Алгоритм двухшагового метода наименьших квадратов реализуетсяв четыре этапа:

1) на основе структурной формы системы одновременных уравнений составляется её приведённая форма;

2) оценки неизвестных коэффициентов приведённой формы системы одновременных уравнений рассчитываются с помощью традиционного метода наименьших квадратов;

3) рассчитываются значения эндогенных переменных, выступающих в качестве факторных в сверхидентифицированном уравнении;

4) все структурные коэффициенты уравнений системы рассчитываются традиционным методом наименьших квадратов через предопределённые переменные, входящие в это уравнение в качестве факторов, и значения эндогенных переменных, полученных на предыдущем шаге.

Как видно из описания данного алгоритма, традиционный метод наименьших квадратов применяется два раза (для определения оценок эндогенных переменных приведённой формы и для определения оценок структурных параметров уравнений системы), поэтому и получил название двухшагового.

35.Оптимизационнаямодельформированияинвестиционногопортфеля.

3.3Нахождениеоптимальногопортфеля

В теории Марковица инвесторы стремятся сформировать портфель ценных бумаг, чтобы максимизировать получаемую полезность. Иными словами, каждый инвестор желает таким образом сформировать портфель, чтобы сочетание ожидаемой доходности E ( r ) и уровня риска σ портфеля приносило бы ему максимальное удовлетворение потребностей и минимизировало риск при желаемой доходности. Разные инвесторы имеют отличные друг от друга мнения об оптимальности сочетания E ( r ) и σ , поскольку отношение одного инвестора к риску не похоже на желание рисковать другого инвестора. Поэтому, говоря об оптимальном портфеле, надо иметь в виду, что эта категория сугубо индивидуальна , и оптимальные портфели разных инвесторов теоретически отличаются друг от друга. Тем не менее каждый оптимальный портфель непременно является эффективным , то есть инвесторы выбирают удовлетворяющий их (оптимальный) портфель из эффективных портфелей.

4.ОптимизацияинвестиционногопортфеляпометодуШарпа

В1963г.американскийэкономистУ.Шарп(WilliamSharpe)предложилновыйметодпостроенияграницыэффективныхпортфелей,позволяющийсущественносократитьобъемынеобходимыхвычислений.ВдальнейшемэтотметодмодифицировалсяивнастоящеевремяизвестенкакодноиндекснаямодельШарпа(Sharpesingle-indexmodel).

ВосновемоделиШарпалежитметодлинейногорегрессионногоанализа,позволяющийсвязатьдвепеременныевеличины-независимуюХизависимуюYлинейнымвыражениемтипаY=а+рХ.ВмоделиШарпанезависимойсчитаетсявеличинакакого-торыночногоиндекса.Таковымимогутбыть,например,темпыроставаловоговнутреннегопродукта,уровеньинфляции,индексценпотребительскихтоваровит.п.СамШарпвкачественезависимойпеременнойрассматривалнормуотдачиr_m,вычисленнуюнаосновеиндексаStandartandPoors(S&P500).Вкачествезависимойпеременнойберетсяотдачаr_iкакой-тоi-ойценнойбумаги.ПосколькузачастуюиндексS&P500рассматриваетсякакиндекс,характеризующийрынокценныхбумагвцелом,тообычномодельШарпаназываютрыночноймоделью(MarketModel),анормуотдачиr_m-рыночнойнормойотдачи.

Пустьнормаотдачиr_mпринимаетслучайныезначенияивтечениеNшаговрасчетанаблюдалисьвеличиныr_m1,r_m2,...,r_mN.Приэтомдоходностьr_iкакой-тоi-ойценнойбумагиимелазначенияr_i1,r_i2,...,r_iN.Втакомслучаелинейнаярегрессионнаямодельпозволяетпредставитьвзаимосвязьмеждувеличинамиr_mиr_iвлюбойнаблюдаемыймоментвремениввиде:

r_i,t=а_i+р_ir_m,t+8_i,t(12)

где:r_it-доходностьi-ойценнойбумагивмоментвремениt;

а_i-параметр,постояннаясоставляющаялинейнойрегрессии,показывающая,какаячастьдоходностиi-ойценнойбумагинесвязанасизменениямидоходностирынкаценныхбумагr_m;

Pi-параметрлинейнойрегрессии,называемыйбета,показывающийчувствительностьдоходностиi-ойценнойбумагикизменениямрыночнойдоходности;

r_mt-доходностьрыночногопортфелявмоментt;

е_i,t-случайнаяошибка,свидетельствующаяотом,чтореальные,действующиезначенияr_itиr_mtпороюотклоняютсяотлинейнойзависимости.

Особоезначениенеобходимоуделитьпараметрур_i,посколькуонопределяетчувствительностьдоходностиi-ойценнойбумагикизменениямрыночнойдоходности.

Вобщемслучае,если$>1,тодоходностьданнойценнойбумагиболеечувствительная,подверженабольшимколебаниям,чемрыночнаядоходностьr_m.Соответственно,приfr<1ценнаябумагаимеетменьшийразмахотклоненийдоходности_hотсреднейарифметической(ожидаемой)величиныE(r)_j,чемрыночнаянормаотдачи.Вэтойсвязиценныебумагискоэффициентомр>1классифицируютсякакболеерискованные,чемрыноквцелом,аср<1-менеерискованными.

Какпоказываютисследования,длябольшинстваценныхбумагр>0,хотямогутвстретитьсяценныебумагиисотрицательнойвеличиной

Р.

4.1Определениеожидаемойдоходностиидисперсиипортфеля

Ожидаемаядоходностьпортфеля,состоящегоизnценныхбумаг,вычисляетсяпоформуле

E(r_n)=УW_iE(r_i)(13)

i=1

гдеWi-вескаждойценнойбумагивпортфеле.Подставимвэту

формулувыражениедляr_iизформулы(12):

E(r_n)=n;W_iE(а_i+р_ir_m+б_i)=n;W_i(а_i+б_i)+n;W_i-р_гE(r_m)(14)

i=1i=1i=1

Дляприданияэтойформулекомпактности,Шарппредложилсчитатьрыночныйиндекскакхарактеристикуусловной(n+1)-ойценнойбумагивпортфеле.Втакомслучае,второеслагаемоеуравнения(14)можнопредставитьввиде:

nW_iP_iE(r_m)=W_n+1E(a_n+1+s_n+1)(15)i=1

где:W_n+1=nW_iД_i;(15a)

i=1

an+1+sn+1=rm.

приэтомсчитается,чтодисперсия(n+1)-ойошибкиравнадисперсиирыночнойдоходности:^_n+1=с£.Выражение(15a)

представляетсобойсуммувзвешенныхвеличин“беты”ф_i)каждойценнойбумаги(гдевесомслужатW_i)иназываетсяпортфельнойбетой(Р_n).Сучетомвыражений(14)и(15)формулу(13)можнозаписатьтак:

E(r_n)=хW_iE(а_i+_еi)(16)

i=1

апосколькуE(_Si)=0,тоокончательноимеем:

E(r_n)=yW_ia_i(17)

i=1Итак,ожидаемуюдоходностьпортфеляE(r_n)можнопредставитьсостоящейиздвухчастей:

а)суммывзвешенныхпараметрова_iкаждойценнойбумаги- W_1tt1+W₂a₂+....+W_na_n,чтоотражаетвкладвE(r_n)самихценных бумаг,и

б)компонентыW_n+1a_n+1=nW_iAE(r_m),тоестьпроизведения

i=1портфельнойбетыиожидаемойрыночнойдоходности,чтоотражаетвзаимосвязьрынкасценнымибумагамипортфеля.

36. Модель Марковица

Основные концепции современной теории портфеля изложены в монографии, написанной доктором Гарри Марковицем. Первоначально Марковиц предположил, что управление портфелем является проблемой структурного, а не индивидуального выбора акций, что обычно практикуется. Марковиц доказывал, что диверсификация эффективна только тогда, когда корреляция между включенными в портфель рынками имеет отрицательное значение. Если у нас есть портфель, составленный из одного вида акций, то наилучшая диверсификация достигается в том случае, если мы выберем другой вид акций, которые имеют минимально возможную корреляцию с ценой первой акции. В результате этого, портфель в целом (если он состоит из этих двух видов акций с отрицательной корреляцией) будет иметь меньшую дисперсию, чем любой вид акций, взятый отдельно. Марковиц предположил, что инвесторы действуют рациональным способои и при наличии выбора предпочитают портфель с меньшим риском при равном уровне прибыльности или выбирают портфель с большей прибылью, при одинаковом риске. Далее Марковиц утверждает, что для данного уровня риска есть оптимальный портфель с наивысшей доходностью, и таким же образом для данного уровня доходности есть оптимальный портфель с наименьшим риском. Портфель, доходность которого может быть увеличена без сопутствующего увеличения риска или портфель, риск которого можно уменьшить без сопутствующего уменьшения доходности, согласно Марковицу, неэффективны. Рисунок 1-7 показывает все имеющиеся портфели, рассматриваемые в данном примере. Если у вас портфель С, то лучше заменить его на портфель А, где прибыль такая же, но с меньшим риском, или на портфель В, где вы получите большую прибыль при том же риске. Описывая эту ситуацию, Марковиц ввел понятие «эффективная граница» (efficient frontier). Это набор портфелей, которые находятся в верхней левой части графика, то есть портфели, прибыль которых больше не может быть увеличена без увеличения риска, и риск которых не может быть уменьшен без уменьшения прибыли. Портфели, находящиеся на эффективной границе, называются эффективными портфелями (см. Рисунок 1-8).

Портфели, которые находятся вверху справа и внизу слева, в целом недостаточно диверсифицированы по сравнению с другими портфелями. Те же портфели, которые находятся в середине эффективной границы, обычно очень хорошо диверсифицированы. Выбор портфеля инвестором зависит от степени неприятия риска инвестором — иначе говоря, от желания взять на себя риск. В модели Марковица любой портфель, который находится на эффективной границе, является хорошим выбором, но какой именно портфель выберет инвестор — это вопрос личного предпочтения (позднее мы увидим, что есть точное оптимальное расположение портфеля на эффективной границе для всех инвесторов).

Модель Марковица первоначально была представлена для портфеля акций, который инвестор будет держать достаточно долго. Поэтому основными входными данными были ожидаемые доходы по акциям (определяется как ожидаемый прирост цены акции плюс дивиденды), ожидаемые дисперсии этих доходов и корреляции доходов между различными акциями. Если бы мы перенесли эту концепцию на фьючерсы, то было бы разумным (так как по фьючерсам не выплачивают дивидендов) измерять ожидаемое повышение цены, дисперсию и корреляции различных фьючерсов. Возникает вопрос: «Если мы измеряем корреляцию цен, то что произойдет при включении в портфель двух систем с отрицательной корреляцией, работающих на одном и том же рынке?»