14.Простейшая система массового обслуживания и ее характеристики. Условие работоспособности простейшей системы массового обслуживания.

В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны для практического применения системы массового обслуживания, которые называются простейшими. Простейшей системой массового обслуживания называется такая система, в которой:

входящий поток заявок является простейшим (пуассоновским);

время обслуживания заявки каждым каналом имеет экспоненциальный закон распределения.

Пуассоновский поток заявок обладает тремя основными свойствами:

ординарность означает, что практически невозможно одновременное поступление двух и более заявок. (невозможен одновременный выход из строя двух станков, одновременный приход двух покупателей и т.д.).

стационарность означает, что среднее число заявок, поступающих в единицу времени, постоянно. Таким образом, хотя заявки и поступают в случайные моменты времени, в среднем поток является равномерным.

Обозначим:

- среднее число заявок, поступающих в систему в единицу времени.

(например, среднее число телевизоров, поступающих в ремонтную мастерскую за день)

отсутствие последействия означает, что количество заявок, уже поступивших в систему, не определяет того, сколько заявок поступит далее. (Например, если произошел обрыв нити на ткацком станке, то это не означает, что его не будет в следующий момент времени, и, тем более, что его не будет на других станках).

Экспоненциальный закон времени обслуживания заявок имеет параметр , который обозначает среднее число заявок, которое может обслужить один канал за единицу времени. Например,- это среднее число телевизоров, которые может отремонтировать один мастер за день. Величинаобратно пропорциональна среднему времени обслуживания одной заявки Тоб :

.

Для простейшей СМО всегда рассчитывается величина

.

Если рассматривается система с ожиданием в очереди, причем размер очереди не ограничен, то имеет следующий смысл: это среднее число каналов, которые необходимо иметь, чтобы обслуживать в единицу времени все поступающие заявки.

Пусть n - число имеющихся в системе каналов обслуживания. (например, число мастеров в телеателье). Тогда условие работоспособности простейшей СМО с ожиданием:



Т.е. число обслуживающих каналов должно быть больше средней величины . Если это условие выполняется, система является работоспособной. В случае нарушения этого условия каналы не будут справляться с обслуживанием всех заявок, очередь будет расти бесконечно, и система просто захлебнется в потоке заявок.

При оценке качества работы СМО кроме этого основного показателя, рассчитываются ряд других показателей эффективности работы системы:

Среднее время ожидания начала обслуживания (время пребывания в очереди);

Средняя длина очереди;

Вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты в момент поступления нового требования в систему;

Среднее число свободных от обслуживания каналов;

Коэффициенты занятости каналов обслуживания;

И т.д.

При этом некоторые из этих показателей более интересны с точки зрения клиента (1,2,3), а другие – с точки зрения владельца мастерской (4,5). Величина средней длины очереди важна для расчета площадей складских помещений, предназначенных для хранения аппаратов, ожидающих ремонта.