1.1 Основные понятия математической статистики

совокупность мathсad математический статистика

Различают генеральную и выборочную совокупности.

Генеральной совокупностью называют совокупность всех мысленно возможных объектов данного вида, над которыми проводят наблюдения с целью получения конкретных значений случайной величины.

Состав генеральной совокупности зависит от целей исследования. Иногда генеральная совокупность - это все население определенного региона.

Выборочной совокупностью называется часть отобранных объектов из генеральной совокупности. Объемом совокупности называют число объектов этой совокупности.

Последовательность вариант, записанных в порядке возрастания, называют вариационным рядом, а перечень вариант и соответствующие им частот или относительных частот - статистическим рядом.

Если исследуется некоторый непрерывный признак, то вариационный ряд может состоять из очень большого количества чисел. В этом случае удобнее использовать интервальный статистический ряд.

Ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основания которых - частичные интервалы, длиною h, высоты равны отношению частоты к длине интервала, называется гистограммой частот.

Выборочной (эмпирической) функцией распределения называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения x относительную частоту события X<x. Таким образом,

,

где - число вариант, меньших x, n - объем выборки.

Свойства F*(x):

0

- неубывающая функия.

Если х1 - наименьшая варианта, то при хх1; если хк - наибольшая варианта, то при х > хк.

Выборочным средним называется среднее арифметическое значений случайной величины, принимаемых в выборке.

Другими характеристиками вариационного ряда являются:

- мода - варианта, имеющая наибольшую частоту.

- медиана - варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.

Выборочным коэффициентом асимметрии называется число, определяемое формулой

.

Выборочный коэффициент асимметрии служит для характеристики асимметрии полигона вариационного ряда. Если полигон ассиметричен, то одна из ветвей его, начиная с вершины, имеет более пологий «спуск», чем другая.

Выборочным эксцессом или коэффициентом крутизны называется число , определяемое формулой

.

Выборочный эксцесс служит для сравнения на «крутость» выборочного распределения. Если выборочному распределению соответствует отрицательный эксцесс, то соответствующий полигон имеет более пологую вершину по сравнению с нормальной кривой. В случае положительного эксцесса полигон более крутой по сравнению с нормальной кривой.

Пусть изучается некоторая с.в. Х. С этой целью над с.в. Х производится ряд независимых опытов (наблюдений). В каждом из этих опытов величина Х принимает то или иное значение. Пусть она приняла раз значение, раз -значение, …, раз - значение . При этом = - объем выборки. Значения , …называются вариантами с.в.Х.

Вся совокупность значений с.в. Х представляет собой первичный статистический материал, который подлежит дальнейшей обработке, прежде всего -упорядочению. Операция расположения значений случайной величины (признака) по не убыванию называется ранжированием статистических данных.

Полученная таким образом последовательность , …значений с.в. Х (где ) называется вариационным рядом.

Числа , показывающие, сколько раз встречаются варианты в ряде наблюдений, называются частотами, а отношение их к объему выборки -частостями или относительными частотами (), т.е.

, где .

Перечень вариантов и соответствующих им частот или частостей называется статистическим распределением выборки или статистическим рядом. Записывается статистическое распределение в виде таблицы. Первая строка содержит варианты, а вторая - их частоты (или частости).