logo
Аналитическое исследование оптимального управления динамической экономической системой

§1. Постановка задачи оптимального управления

Рассмотрим математическую постановку задачи оптимального управления на заданном конечном интервале времени

  • Определим функции, которые характеризуют состояния и управления в заданной системе. Будем рассматривать в качестве состояний системы значения функций фондовооруженности в каждом секторе
  • В качестве параметра управления рассматриваем некоторую величину, которая связана с удельными инвестициями в фондообразующий сектор экономики.
  • Обозначим управление как и будем называть величину функцией управления. Выясним экономическое содержание функции . Из условия баланса инвестиций (§ 1), выполняемого в любой момент времени следует оценка
  • (2.1.1)
  • Равенство в этом соотношении достигается в случае, когда то есть при Величина являет собой максимально возможное значение удельных инвестиций в фондосоздающем секторе. Следовательно, по экономическому содержанию функция представляет собой долю удельных инвестиций в первый (фондообразующий) сектор от максимально возможного объема удельных инвестиций, который совпадает с величиной удельного произведенного продукта данного сектора . Заметим также следующее
  • Введем трехмерный параметр который характеризует состояние системы и одномерный параметр который характеризует управление.
  • Далее методично опишем основные части задачи оптимального управления: целевой функционал и ограничения.
  • Целевой функционал вводится в виде
  • Первое слагаемое в данном показателе (интегральная часть целевого функционала) выражает накопленный (суммарный) удельный продукт, произведенный за фиксированный период . Сомножитель под знаком интеграла называется дисконтирующим. Он показывает формулу учета инфляции.([10],[11]).
  • Второе слагаемое (терминальный член) целевого функционала учитывает влияние на цель управления конечных значений параметров фондовооруженности так как параметры выражают достигнутый уровень технологического развития в системе. Дисконтирующий множитель описан выше.
  • . Рассмотрим в качестве основных ограничений систему соотношений (1.2.21). По форме эти соотношения представляют собой систему дифференциальных уравнений относительно функций состояний разрешенных относительно производной. Правая часть этих состояний зависит от функции управления . Такие соотношения в теории управления называются дифференциальной связью и описывают изменения состояния под воздействием управления.
  • Предполагается, что заданы начальные значения для функций, описывающих состояния системы
  • .
  • Задание начальных значений естественно для реальных динамических систем.
  • Определим ограничения на управления. Из соотношения (2.1.1) и неотрицательности удельных инвестиций вытекает:
  • (2.1.2)
  • То есть, множество допустимых управлений имеет вид Если предположить то Тогда следовательно, Тогда получаем Если функция управления принимает одно из значений 0 или 1, это означает, что либо инвестиции в первый сектор, либо инвестиции в нулевой и второй секторы являются нулевыми.
  • Будем рассматривать следующую задачу
  • (2.1.3)
  • (2.1.4)
  • (2.1.5)
  • (2.1.6)
  • Задача (2.1.3) - (2.1.6) представляет собой классическую задачу оптимального управления на заданном фиксированном конечном интервале времени и с закрепленным левым концом траектории. Целевой функционал является функционалом смешанного типа с интегральной и терминальной частями. Соотношения (2.1.4) называются дифференциальной связью и описывают динамику изменения состояния под воздействием управления . Величины предполагаются известными и задают начальные значения параметров состояний (удельного капитала). Равенства (2.1.5) определяют закрепленный левый конец траектории, описываемой набором функций состояний . Соотношение (2.1.6) является ограничением на управление и определяется возможными значениями параметра в рассматриваемой модели.