logo
Контрольная

Использование многофакторных моделей для анализа и прогнозирования развития технических систем

Одна из важнейших целей моделирования заключается в прогно­зировании поведения исследуемого объекта. Обычно термин «про­гнозирование» используется в тех ситуациях, когда требуется пред­сказать состояние системы в будущем. Для регрессионных моделей он имеет, однако, более широкое значение. Как уже отмечалось, дан­ные могут не иметь временной структуры, но и в этих случаях вполне может возникнуть задача оценки значения зависимой переменной для некоторого набора независимых, объясняющих переменных, которых нет в исходных наблюдениях. Именно в этом смысле - как построе­ние оценки зависимой переменной - и следует понимать прогнозиро­вание в данной науке.

Проблема прогнозирования имеет много различных аспектов. Можно различать точечное и интервальное прогнозирование. В первом случае оценка - это конкретное число, во втором - интервал, в котором истинное значение переменной находится с заданным уровнем доверия. Кроме того, для временных рядов при нахождении прогноза существенно наличие или отсутствие корреляции по време­ни между ошибками.

При использовании построенной модели для прогнозирования делается предположение о сохранении в период прогнозирования существовавших ранее взаимосвязей переменных.

Для прогнозирования зависимой переменной на / шагов вперед необходимо знать прогнозные значения всех входящих в нее факто­ров. Их оценки могут быть получены МНК или на основе временных экстраполяционных моделей или заданы пользователем. Эти оценки подставляются в модель, и получаются прогнозные оценки.

Возникает вопрос, какие факторы влияют на ширину доверитель­ного интервала? Для того, чтобы определить область возможных зна­чений результативного показателя при рассчитанных значениях фак­торов, следует учитывать два возможных источника ошибок: ошибки, обусловленные рассеиванием наблюдений относительно линии рег­рессии и ошибки, обусловленные математическим аппаратом по­строения самой линии регрессии. Ошибки первого рода измеряются с помощью характеристик точности, в частности, величиной Se.

Ошибки второго рода обусловлены фиксацией численного значе­ния коэффициентов регрессии, в то время как они в действительности являются случайными, нормально распределенными.

Для линейной модели доверительный интервал рассчитывается следующим образом. Оценивается величина отклонения U от линии регрессии:

U(l) = Setкр, (4)

Vnp=XпрT(XT X)-1 Хпр, где Xпр =(X1(n+1),X21(n+1)),...,Xm1(n+1)).

Для модели парной регрессии формула (4) принимает вид:

.(5)

Коэффициент t является табличным значением t-статистики Стьюдента при заданном уровне значимости  и числа наблюдений п, l-период прогнозирования.

Если исследователь задает вероятность попадания прогнозируе­мой величины внутрь доверительного интервала, равную 0,7 то t=1,05, если вероятность составляет 0,95, то t=l,96, a при 0,99 t=2,65.

Как видно из формулы (5), величина U прямо пропорционально зависит от точности модели Se, коэффициенту доверительной вероят­ности t, степени удаления прогнозной оценки фактора X от среднего значения и обратно пропорциональна объему наблюдений.

В результате получаем следующий интервал прогноза для шага прогнозирования l:

Если построенная регрессионная модель адекватна и прогнозные оценки факторов достаточно надежны, то с заданным уровнем значимости можно утверждать, что при сохранении сложившихся законо­мерностей развития прогнозируемая величина попадет в интервал, образованный нижней и верхней границами.