Парная линейная регрессия

Следующий этап исследования корреляционной связи заключается в том, чтобы описать зависимость признака-результата от признака-фактора некоторым аналитическим выражением.

,

где − средний уровень показателяY при данном значении x.

Если рассчитан коэффициент корреляции r , то коэффициенты a₀ и a₁ могут быть определены следующим образом

, .

В общем случае такая задача может решаться с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Рассмотрим использование метода наименьших квадратов для оценки параметров регрессии .

На практике имеется серия наблюдений (x_i;y_i) (i=1,..,n).

Будем считать, что

.

Тогда

.

Продифференцировав Q по a₀ и a₁ и приравняв частные производные нулю, получим следующую систему уравнений

;

,

решая которую получим оценки и

,

.

Основное назначение регрессионной модели – использование ее для прогноза экономического показателя y. Прогноз осуществляется подстановкой значения фактора в оценку детерминированной составляющей:

Чтобы определить точность этой оценки и построить доверительный интервал необходимо найти дисперсию оценки .

На практике для оценки дисперсии ошибки прогноза можно пользоваться следующим выражением

.

Из этого выражения следует, что с ростом дисперсия ошибки прогноза увеличивается.

Пример.

Исследуем зависимость розничного товарооборота магазинов (млрд р.) от среднесписочного числа работников. Обозначим:

x – число работников;

y – товарооборот.

Исходные данные и результаты расчетов приведены в таблице

;

; ;

;

Вычислим выборочный коэффициент корреляции:

;

;

.

Тогда

Проверим значимость выборочного коэффициента корреляции. Для этого вычислим статистику t:

Табличное значение критерия Стьюдента для =n-2 = 6 и

Так как 15,65 > 2,45 , то полученный коэффициент статистически значим.

Найдем коэффициенты парной линейной регрессии:

;

и регрессия имеет вид

.

Прогнозное значение розничного товарооборота при составит

Задание 5. С помощью корреляционного и регрессионного анализа изучить связь между показателями, указанными в Вашем варианте.

1. Рассчитать значение коэффициента корреляции для несгруппированных данных табл. 1.

2. По данным аналитической группировки (задание 1) найти межгрупповую дисперсию признака-результата и с учетом полной дисперсии (задание 2) определить коэффициент детерминации и корреляционное отношение.

1. Сделать вывод о тесноте и форме статистической связи.

2. Найти коэффициенты парной линейной регрессии и сделать прогноз признака-результата, если признак-фактор принимает свое среднее значение.

3. На одном рисунке изобразить эмпирическую (по данным аналитической группировки) и теоретическую регрессии. Провести анализ степени их совпадения.

10. ПРИМЕНЕНИЕ ИНДЕКСОВ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ

Индивидуальные индексы

В статистике под индексом понимают относительную величину, характеризующую результат сравнения двух уровней одноименных показателей.

Каждый индекс включает два вида данных: данные текущего (отчетного) периода и данные базисного периода, служащие базой для сравнения.

Различают индивидуальные и общие (агрегатные) индексы.

Индивидуальные индексы характеризуют изменение отдельных элементов статистической совокупности

где - текущий уровень величины;

- базисный уровень величины.

Различают индексы абсолютных показателей (объема продукции, товароооборота и т. д.) и относительных показателей (цен, себестоимости и т. д.).

Общие (агрегатные) индексы

Общие (агрегатные) индексы строятся с учетом изменения всех элементов статистической совокупности.

А) Агрегатный индекс товарооборота

где n- количество товаров;

, - цена j-го товара в текущем и базовом периодах соответственно;

, - количество j-го товара в текущем и базовом периодах соответственно.

Б) Агрегатный индекс цен

Так как совокупность состоит из элементов, непосредственно не поддающихся суммированию, то агрегатный индекс включает набор значений цен и соответствующих им весовых коэффициентов

При этом возникает вопрос что использовать в качестве весов . В экономическом анализе приняты два варианта.

В первом варианте в качестве весов принимается физический объем производства текущего периода (индекс Пааше)

Во втором варианте в качестве весов принимается физический объем производства базисного периода (индекс Ласпейреса)

Обычно на практике используется индекс Пааше.

В) Индекс физического объема

Индекс физического объема использует в качестве весов цены базисного периода

Тогда индекс товарооборота будет равен

Взаимосвязь агрегатных и индивидуальных индексов

Агрегатный индекс связан с индивидуальными индексами . При этом агрегатный индекс является некоторой средней из индивидуальных индексов с соответствующими весами.

Предположим, что известны индивидуальные индексы цен .

Тогда

Данная формула представляет собой средневзвешенное гармоническое из индивидуальных индексов цен с весами .

Предположим, что известны индивидуальные индексы физического объема .

Тогда

Данная формула представляет собой средневзвешенное арифметическое из индивидуальных индексов физических объемов с весами .

Агрегатный индекс средних величин

Рассмотрим агрегатный индекс средних величин на примере индекса средней цены

Отметим, что на величину индекса средней цены влияет как непосредственное изменение цен, так и изменение структуры потребляемой продукции. Поэтому индекс средней величины называют индексом переменного состава.

Индекс постоянного состава (индекс Пааше) имеет вид

Индекс структурных сдвигов имеет вид

При этом выполняется следующее соотношение

Задание 6.

1. Данные о количестве проданных товаров и ценах в базисном и текущем периодах приведены в таблице

На основании вышеприведенных данных вычислить:

1. Индивидуальные индексы цен и физического объема.

2. Агрегатные индексы товарооборота, цен и физического объема.

2. Данные о реализации фруктов и овощей на рынках города приведены в таблице

На основании приведенных данных вычислите:

1. Индивидуальные индексы физического объема

2. Агрегатный индекс физического объема

3. Агрегатный индекс товарооборота

4. На основании агрегатных индексов товарооборота и физического объема найти агрегатный индекс цен.

3. Данные о реализации товаров в универсаме приведены в таблице

На основании приведенных данных вычислите:

1. Индивидуальные индексы цен

2. Агрегатный индекс цен

3. Агрегатный индекс товарооборота

4. На основании агрегатных индексов товарооборота и цен найти агрегатный индекс физического объема.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Елисеева. И. И., Общая теория статистики: учебник / И. И. Елисеева, М. М. Юзбашев. под ред. И. И. Елисеевой. – 5-е изд. - М.: Финансы и статистика, 2006. – 656 с.

2. Теория статистики: учебник /Под ред. Г. Л. Громыко. – 2-е изд. – М.: ИНФРА-М, 2005. – 476 с.

3. Эконометрика: Учебник /Под ред. И. И. Елисеевой.- 2-е изд. – М.: Финансы и статистика, 2005.- 576 с.

4. Кремер Н. Ш.. Путко Б. А. Эконометрика: Учебник.- 2-е изд. – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2008.- 311 с.

5. Богданов А. И. Математические модели прогнозирования (монография).- СПб.: СПГУТД, 2007. – 128 с.

44