2.1 Линейная действительная производственная функция комплексного аргумента

Обычно в теории производственных функций переменными выступают объём производства Q, затраты труда L и затраты капитала K, как наиболее существенные факторы и результат производства. Из множества производственных ресурсов выбираются эти два - труд и капитал, поскольку до определённой степени они являются взаимозаменяемыми - один и тот же объём производства Q может быть достигнут при разных соотношениях K и L и неизменном количестве прочих производственных ресурсов. Представим производственные ресурсы K и L в виде комплексной переменной . Тогда производственная функция в общем виде будет выглядеть так:

Здесь K, L, и Q - положительные действительные числа. Отнесение K в действительную часть, а L - в мнимую условна и не играет принципиального значения. В такой функции комплексному числу сопоставляется действительное число Q.

В простейшем случае связать затраты труда L и капитала K с результатами производства Q можно следующим образом [18, 4]:

. (2.1)

Здесь a₀ и a₁ - действительные числа. Первый сомножитель, представляющий собой комплексное число , помогает связать в одной модели производственные затраты и результаты, но требует самостоятельного научного исследования.

Осуществляя перемножение сомножителей в правой части равенства (2.1) и группируя вещественную и мнимую части, получим:

. (2.2)

В результате имеем комплексное число, вещественная часть которого равна Q_t, а мнимая часть должна быть равна нулю в силу того, что в левой части равенства мнимой части нет, то есть она представлена произведением i0. Следовательно, производственная функция (2.1) представляет собой аддитивную модель вида:

, (2.3)

где коэффициенты а₀ и а₁ представляют собой части одного комплексного числа.

Именно последнее обстоятельство предопределяет особенность свойств предложенной модели производственной функции комплексного аргумента. Использовать просто модель (2.3) в данном случае нельзя, поскольку должно выполняться ещё и условие

. (2.4)

Решение системы уравнений (2.3) и (2.4) позволяет найти искомые значения коэффициентов а₀ и а₁.

Для того чтобы показать применимость предлагаемого метода построения производственной функции комплексного аргумента воспользуемся конкретными экономическими данными таблицы 2 приложения. Исследуем производственную деятельность предприятия ООО «Квант».

Подставляя данные из таблицы 2 приложения в систему уравнений:[19]

(2.5)

Получаем таблицу 6 коэффициентов а₀ и а₁ по годам. Система уравнений считалась методом Гаусса в математическом пакете Maple. Мемтод Гамусса -- классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Таблица 6 - Коэффициентов а₀ и а₁ по годам полученная из системы уравнений(2.5).

Но тот же самый результат можно получить и используя непосредственно модель (2.1). Для этого определим комплексное число коэффициентов через объёмы и ресурсы, сделав несколько элементарных преобразований:

(2.6)

Полученное равенство, как это следует из свойств комплексных чисел, выполняется только в том случае, когда равны друг другу вещественные и мнимые части комплексных чисел в его левой и правой частях. Это свойство позволяет легко получить формулы для расчёта коэффициентов. Действительно, раскрывая скобки и группируя отдельно вещественную и мнимую части, получаем формулы для вычисления каждого из коэффициентов:

и . (2.7)

Подставим в уравнение (2.7) данные таблицы 2 приложения, найдем а₀ и а₁. Численные значения, вычисленные по уравнениям (2.7) абсолютно идентичны значениям, вычисленным по системе уравнений (2.5).

Эти формулы позволяют не только найти численные значения коэффициентов по известным значениям затрат и результатов, но и дать экономическую интерпретацию значений каждого из коэффициентов а₀ и а₁.

Если все исходные переменные равны единице, то в этом случае коэффициент а₀ и коэффициент а₁ равны друг другу и принимают значение равное 0,5. То есть, если с течением времени экономическая система не развивается во времени, затраты ресурсов и результаты остаются неизменными, то и коэффициенты остаются неизменными и равными 0,5. Естественно, этот случай следует признать чрезвычайно редким.

Равенство между коэффициентами, как это легко увидеть из (2.6), возможно только в том случае, когда равны друг другу значения ресурсов: L_t=K_t. Во всех остальных случаях будет наблюдаться неравенство между коэффициентами. Когда L_t>K_t, то а₁ > а₀, а когда L_t<K_t то а₁ < а₀. Из таблицы 6 мы наглядно видим подтверждение этих условий на примере предприятия ООО «Квант».

Как следует из (2.7) коэффициент а₁ отражает изменение интенсивности использования трудовых ресурсов, а коэффициент а₀ отражает изменение интенсивности использования капитальных ресурсов. Поэтому данные коэффициенты можно назвать - коэффициенты использования ресурсов.

Из (2.7) следует ещё одно очевидное свойство коэффициентов, а именно:

. (2.8)

Проверим это свойство на данных нашего предприятия в таблице 7.

Рассмотрим возможные пределы изменения этих коэффициентов в зависимости от изменения того ресурса, поведение которого он отражает, то есть:

и .

Таблица 7 - Значения условия (2.8)

Как следует из (2.7), каждый из коэффициентов при стремлении одного из параметров к нулю сам стремится к нулю, а при стремлении одного из параметров к бесконечности, вновь устремляется к нулю. Поэтому очевидно, что рассматриваемые функции имеют экстремум, который и следует найти.

С учётом симметричности коэффициентов, достаточно изучить только один из них, тогда поведение другого коэффициента также будет известно.

Рассмотрим для определённости коэффициент использования трудовых ресурсов а₁.

Что касается зависимости коэффициента а₁ от другого ресурса, а именно, капитальных затрат К_t при фиксированном значении L_t, то формула (2.7) показывает, что при К_t=0 коэффициент принимает своё максимальное значение. С ростом капитальных затрат и постоянстве трудовых затрат значения коэффициента а₁ начинают убывать по гиперболе и стремятся к нулю при стремлении капитальных затрат к бесконечности.

Аналогично ведёт себя и коэффициент а₀ при фиксированном значении К_t и изменении трудовых затрат L_t от нуля до бесконечности.

Зависимость значений коэффициентов от Q_t ещё более простая - с ростом Q_t значения каждого коэффициента использования ресурсов линейно возрастают.

Для уточнения характера изменения коэффициента а₁ от L_t который представляет собой в соответствии с (2.7) функцию от нескольких переменных, найдём частную производную коэффициента использования трудовых ресурсов по труду. Она будет равна:

(2.9)

Для нахождения экстремума функции приравняем нулю эту производную:

, (2.10)

откуда легко найти условие, при котором коэффициент а₀ принимает максимальное значение, а именно:

. (2.11)

С учётом не отрицательности переменных, получаем, что и коэффициенты а₀, и а₁ принимают свои максимальные значения только в том случае, когда относительное значение затрат труда равно относительному значению затрат капитала, то есть:

. (2.12)

Учитывая (2.12) из формулы для вычисления коэффициентов (2.8), легко найти максимальные значения коэффициентов:

. (2.13)

Итак, можно сделать вывод о том, как меняются значения коэффициентов использования ресурсов.

Коэффициент а₁ при фиксированном положительном значении ресурса К_t равен нулю при равенстве нулю ресурса L_t; коэффициент а₀ при этом больше нуля. При возрастании трудовых затрат L_t от нуля до значения, определяемого равенством (2.12) коэффициент а₁ возрастает. При значениях ресурса L_t, равного ресурсу К_t, коэффициент а₀ достигает своего максимального значения (2.13). При этом его значения равны коэффициенту а₁. С дальнейшим ростом значений трудовых ресурсов коэффициент а₀ уменьшается и стремится к нулю при стремлении значений L_t к бесконечности. На этом участке коэффициент а₀, в силу (2.8), всегда больше коэффициента а₁, который также уменьшается с ростом L_t .

Таким же образом в зависимости от капитальных ресурсов К_t ведёт себя и другой коэффициент - коэффициент использования капитальных ресурсов.

Любая производственная единица, будь то отдельно взятое предприятие или хозяйство всей страны, развивается во времени. При этом меняются технологии производства, вызывая изменения производительности труда и производительности оборудования. Эти изменения отражаются в производственной функции изменением коэффициентов использования ресурсов.

С этих позиций коэффициенты a₀ и а₁ можно рассмотреть как некоторые функции от времени: а₁=f₁(t), а₀=f₀(t). Но так как указанные коэффициенты являются частями одного комплексного числа, то эти зависимости следует рассмотреть в комплексе. То есть, рассматривая коэффициенты в динамике, следует найти зависимость

. (2.14)

Рассмотрим эту задачу с помощью графического метода, поскольку данное комплексное число может быть отображено на плоскости (а₀; а₁), где коэффициенты использования ресурсов выступают в качестве осей координат данной плоскости.

Динамика изменения комплексного числа во времени может иметь самый различный вид, но если эта динамика может быть описана в виде зависимости

, (2.15)

то она представляет особый интерес.

С учётом того, что в теории производственных функций за точку отсчёта принимаются начальные значения динамических рядов, их относительные значения будут равны единице, а это означает, что в начальной точке коэффициенты а₀ и а₁ будут равны друг другу и равны 0,5 (как это следует из (2.7)).

В теории производственных функций принята именно эта точка отсчёта, поэтому в дальнейшем будем считать, что все исходные переменные приведены к начальным значениям. Иные случаи будут оговорены отдельно.

Так как значения коэффициентов использования ресурсов лежат в пределах от нуля до бесконечности, возможны четыре варианта динамики коэффициентов из начальной точки (0,5; 0,5) , а именно:

1) когда оба коэффициента возрастают и их значения превышают начальную величину 0,5;

2) когда оба коэффициента уменьшаются и становятся меньше 0,5;

3) когда значения коэффициента а₁ возрастают и превышают 0,5, а значения коэффициента а₀ уменьшаются;

4) когда значения коэффициента а₁ уменьшаются, а значения коэффициента а₀ возрастают и остаются больше 0,5 [18, 13].

Коэффициенты, полученные по данным из таблицы 1 описывают, четвертый вариант динамика коэффициентов.

Эти четыре варианта динамики представлены на рисунке 2.2. Впрочем, возможны и более сложные варианты динамики, представляющие собой комбинацию четырёх исходных.

Рисунок 4 - Варианты динамики коэффициентов.

На рисунке 4 изображена плоскость возможных значений изменения коэффициентов использования ресурсов а₀ и а₁. На плоскость нанесены две перпендикулярные прямые, показанные пунктирными линиями, проходящие через отрезки на осях, равные 0,5. Пересечением этих двух прямых является точка, в которой каждый из коэффициентов равен 0,5. Именно эта точка и является начальной. Эти две прямые также делят плоскость значений коэффициентов на четыре области, которые на рисунке пронумерованы так, чтобы каждая область соответствовала указанным выше четырём вариантам динамики коэффициентов.

Рисунок 5 - Динамика коэффициентов по отношению друг к другу по данным ООО «Квант»