2. Теоретична частична

Оптимальне з витрати палива керування лінійними обєктами

Оптимальні по швидкодії розімкнуті системи. Основна задача для таких систем складається в знаходженні моментів перемикання відповідно до теореми про n інтервали. Оскільки вид керуючого впливу визначається заздалегідь і є релейним, розглянемо метод знаходження моментів перемикання - метод зшивання рішень. Нехай диференціальне рівняння одномірного лінійного обєкта при відсутності обмежень координат виходу й без обліку впливів, що обурюють, має вигляд

(1)

початковою граничною умовою

,

кінцевим -

.

Представимо рішення рівняння (1) у вигляді:

,

де - корінь характеристичного рівняння.

Записуємо рішення для вихідної координати і її похідних на кінці останнього n-го інтервалу керування (при ):

(2)

Із системи рівнянь (2) визначаємо постійні кроки інтегрування: .

Аналогічні системи рівнянь записуємо для кінця передостаннього інтервалу й початку останнього інтервалу й з першої віднімаємо другу систему рівнянь:

(3)

Підставляючи значення із системи рівнянь (2) у систему рівнянь (3), з останньої визначаємо невідомі . Продовжуючи таку процедуру стикування рішень, приходимо до першого інтервалу. Для початку першого інтервалу при записуємо:

(4)

Із системи (4) визначаємо постійні , і, підставляючи їх у рівняння, записані після «зшивання» рішень у момент першого перемикання. Одержуємо n рівнянь для визначення постійних, які виражаються через моменти першого перемикання . Продовжуючи аналогічним образом, доходимо до останнього інтервалу, для якого постійні інтегрування виражені через . У результаті, виключивши постійні інтегрування, одержуємо n трансцендентних рівнянь із n невідомими . Рішення виробляється ЕОМ.

Оптимальні по швидкодії замкнуті системи. Для систем такого типу задача синтезу зводиться до визначення аналітичного вираження функцій перемикання з використанням методу фазових траєкторій (фазового простору).

Метод фазового простору - знаходження рівнянь ліній або гіперповерхонь перемикання , що розділяють фазовий простір на області з різними траєкторіями руху крапки, що зображує. Оскільки фазову площину або тривимірний фазовий простір можна представити наглядно, те в найпростіших випадках для обєктів, що описують лінійними диференціальними рівняннями другого й третього порядку, рішення задачі синтезу оптимальних зводиться до визначення ліній перемикання на фазовій швидкості або поверхні перемикання в тривимірному просторі.

Методика синтезу оптимальних по швидкодії систем, заснована на застосуванні методу фазового простору, найбільш розроблена для систем автоматичної стабілізації коли, При закон оптимального керування відповідно до принципу максимуму формується у вигляді нелінійної залежності координати керування від координати вектора стану

Сигнал керування змінює знак, якщо функція , переходячи нульове значення, змінює знак. Тому поверхня, обумовлену рівністю , називають поверхнею перемикання, а функцію - функцією перемикання.

Знак сигналу на першому інтервалі визначається початковим і заданим значеннями вектора стану:

Аналітичне вираження функції перемикання релейний закон керування (5) визначають структуру з оптимального по швидкодії регулятора. Тому задачі такого типу називають ще задачами синтезу оптимального регулятора.

У загальному випадку для автоматичних систем програмного керування й систем, що стежать, що задає вплив може мати форму будь-якого типового сигналу (лінійного, квадратичного, гармонійного) , тобто . При цьому структура регулятора, обумовлена рівнянням (5), не завжди буде забезпечувати оптимальне по швидкодії керування. Для цього типу систем, коли , закон оптимального керування формується у вигляді нелінійної залежності координат керування від помилки обумовленої відхиленням вектора стану від вектора впливу, що задає , тобто

,

де . Функція перемикання в цьому випадку враховує вектор впливу, що задає, у звязку із чим поверхня перемикання варто розглядати у фазовому просторі вектора помилки

,

де ,

Якщо корінь характеристичного рівняння обєкта речовинні, то визначення поверхонь перемикання засновано на справедливості теореми про n інтервали. При рівняннях високого порядку доцільно використати канонічну форму. Одержуємо систему рівнянь у канонічній формі

(6)

Крім із рівнянь (6) час, одержуємо систему

рівнянь, що описують фазові траєкторії в n-мірному фазовому просторі. Для цього ділимо всі перші (n - 1) рівнянь на останнє й одержуємо диференціальні рівняння фазових траєкторій:

Проінтегрувавши ці рівняння, знаходимо відповідні залежності між змінними стани, що характеризують поверхня перемикання, що має (n-1)-мірну розмірність.

Для обєктів другого й третього порядку задача визначення таких залежностей вирішена аналітично. Для обєктів більш високого порядку важко одержати практично реалізовані функції гіперповерхонь перемикання, тому розроблені методи наближеного рішення таких задач, зокрема:

алгоритмічний метод, що заснований на поданні рішення рівнянь стану у вигляді статечних рядів кожного інтервалу релейного керування та використовуючих «рух назад» від кінцевого стану до початкового;

метод поділу рухів, що заснований на розщепленні системи рівнянь стану лінійного обєкта на системи рівнянь, що характеризують «швидкі» й «повільні» рухи, і рішенні задачі спочатку по рівняннях координат швидких рухів, а потім повільних.

Квазіоптимальне керування. У результаті синтез випромінювальні системи оптимальні тільки в ідеальних випадках. Дійсно, оптимальне керування перебуває для математичної моделі, що приблизно заміняє реально систему. Реалізувати моменти перемикання з великий точністю дуже важко, тому що реле має зону нечутливості, терезис і кінцевий час спрацьовування. У якості реле елементів часто використаються ланки з насиченням, що мають певну зону лінійності. При малих сигналах такі оптимальні системи працюють як звичайні замкнуті лінійні системи. Фазові координати системи вимірюють певними погрішностями, через які не вдається одержати строго оптимальне керування. Отже, будь-яка практично виконана система завжди відрізняється від оптимального керування, тобто реальні системи є близькими до оптимального або є квазіоптимальними.

Часто реалізація оптимальної системи на практиці буває настільки складною, що виявляється економічно не вигідною. Тому в ряді випадків раціонально відразу проектувати не строго оптимальну систему, а квазіоптимальну, але більш просту. Причому виграш від спрощення системи значно перевершує програш від погіршення якості.

Існує два основних способи синтезу квазіоптимальних систем керування, що дозволяють скоротити кількостей інтервалів керування:

1) синтез оптимального керування для попередньо спрощеного обєкта, порядок диференціального рівняння динаміки якого заздалегідь знижується;

2) спрощення попередньо знайденого строго оптимального керування зневагою окремими інтервалами.

Перший спосіб синтезу заснований на попередньому спрощенні рівняння динаміки обєкта за допомогою лінеаризації для відкидання нелнійностей, а також на зниженні порядку рівняння динаміки до другого або максимум до третього порядку. Звичайно рекомендується зневажати постійними часу значення яких на порядок менше інших. Коли обєкт керування не можна розбити на окремі ланки, знаходять корені характеристичного рівняння і відкидають ті з них (корені із негативними дійсними частинами), які більш ніж у десять разів більше інших. Недоліком цього способу є відсутність загальної оцінки ступеня відхилення від точного оптимального процесу, що не визначається. Така оцінка можлива при іншому способі синтезу квазіоптимальних систем.

Другий спосіб синтезу припускає спочатку синтез строго оптимального керування. Далі або зневажають окремими інтервалами керування, тривалість яких мала і не може сильно вплинути на вектор стану, або спрощують закон керування.

При побудові квазіоптимальної системи по першому типу спрощення найчастіше свідомо зневажають деякими інтервалами керування. Наприклад, строго оптимальне керування припускає наявність двох інтервалів керування і не більше одного перемикання в момент часу (мал. 1.9, крива 7).

Таким обєктом можна управляти за допомогою тільки одного інтервалу керування (мал. 1.9, крива 2). Такому керуванню відповідає друга крива перехідного процесу. У цьому випадку, задаючись припустимим відхиленням стану у вигляді помилки , перемикання керуючого впливу необхідно виконати так, щоб не перевищити припустимого відхилення стану х. Для визначення моменту перемикання , і часу досягнення координатою х максимального значення хст + ?х можна скористатися методом «зшивання» рішень.

При побудові квазіоптимальних систем по другому типі спрощення апроксимують функції перемикання і так, щоб реалізація пристрою оптимального керування була більш простою. Найбільш зручною для реалізації є лінійна функція перемикання, досить використати лінійні підсилювачі замість перетворювачів. Наприклад: ; граничні умови:

Лінія перемикання - геометричне місце точок площини, де виробляється перемикання:

Апроксимація кривої прямої:

де - коефіцієнт передачі ланцюга зворотного звязку по провідний, котрий виходить з умови

де й - максимально можливі початкові координати обєкта в реальних умовах (мал. 1.10), де АОВ - дійсна крива перемикання і А1О - апроксимована пряма перемикання.

Перехідний процес буде відповідати оптимальному перехідному процесу тільки для початкових точок М0 і М1 для яких наприкінці першого інтервалу зображена точка координати точок М1 і М11. При значеннях й у замкнутій системі виникає ковзний режим

Якщо й , то відбувається перерегулювання.

Керування лінійними обєктами оптимальними по витраті палива. Нехай динаміка обєкта описується системою лінійних диференціальних рівнянь:

(7)

Витрата палива у фізичних системах у більшості випадків характеризується функціоналом

(8)

Керування покладається обмеженим, наприклад:

Потрібно визначити керування, що переводить систему (7) з обмеженням (9) з початкового в кінцевий стан, щоб функціонал (8) досягав мінімуму. Час переходу може бути задане або не задано.

Відповідно до основної теореми принципу максимуму введемо

допоміжні змінні . Функція Гамільтона має вигляд:

(10)

Допоміжні змінні задовольняють системі сполучених канонічних рівнянь:

Виділимо у функції (10) для ті що складають, які явно залежать від вектора , думаючи . Тоді

Уведемо позначення:

У силу того, що незалежно, максимальне значення Н1 досягається при максимумі кожного доданка:

Визначаємо максимум цього доданка при :

Максимум досягається на керуванні:

Якщо або , то керування може приймати будь-які значення на відрізку [0,1] і [-1,0]. Уведемо в розгляд функцію зони нечутливості , що визначається:

Застосовуючи це позначення, можна записати:

Якщо на інтервалі є хоча б один підінтервал , що для всіх , задача називається виродженна, а - інтервал виродженності.

Якщо на інтервалі є кінцева або рахункова множина моментів часу , при яких виконується для , то задача на мінімум витрати палива називається нормальною. У випадку нормальної задачі, оптимальне керування буде єдиним, крім, можливо, кінцевого числа моментів перемикання. Достатньою умовою нормальності для лінійних систем є невиродженисть матриці:

, де ,

де j-й стовпець матриці В.

У ряді випадків замість критерію (8) розглядається комбінований критерій, що враховує витрату палива й час перехідного процесу:

коли - задача витрати палива; - задача швидкодії.