Метод наименьших квадратов

Сущность его состоит в том, что выбирается линия, при которой сумма квадратов разностей между фактическими наблюдениями зависимой переменной и расчетными значениями, полученными по регрессивной формуле, минимальна

где у - расчетное значение зависимого переменного по регрессивной формуле.

Степенная зависимость

Для определения параметров степенной зависимости, проведя предварительно спрямление кривой, пользуются методом наименьших квадратов. Для этого левую и правую части формулы степенной зависимости необходимо прологарифмировать, в результате получим формулу:

lg y = lg a + b lg x

Оценка точности определения параметров криволинейной зависимостью осуществляется при помощи корреляционного отношения:

,

Корреляционное отношение всегда 0и всегда положительно. При=r кривая точнее определяет зависимость, чем прямая при r = .

Дополнительной оценкой точности определения параметров, применяемой при оценке нелинейной корреляции, является средняя относительная ошибка аппроксимации , определяемая по формуле:

Логарифмическая зависимость выражается формулой:

x=a+d lgx

Для получения параметров логарифмической кривой нужно прологарифмировать наблюдения по X и, рассматривая их как независимые переменные, определить параметры а и b по методу наименьших квадратов.

Параболическая зависимость или многочлен n-ой степени

В виде параболы второго порядка выражается формулой:

у = а + bх + сх²

Определение параметров параболической кривой осуществляется методом наименьших квадратов. В целевую функцию метода наименьших квадратов вместо расчетных значений у подставляется правая часть параболической кривой:

S=

Оценка точности определения параметров параболы производится по корреляционному отношению и ошибке аппроксимации

Корреляционные зависимости периодического типа находят широкое применение при определении, например, характера материально-технического обеспечения строительного производства на весь период строительства, влияния сезонных факторов и т.д. Еcли в течение года проводить ежемесячные наблюдения какого-либо показателя (экономического, технологического, энергетического и т.д.), то время, как аргумент, может быть записано в виде:

…..

Мы получим 12 показателей аргумента - Тогда зависимость величины от времени получим:

+

где К = 1, 2, 3,..., m - заданное число этого многочлена;

а₀, а_к, b_к - коэффициенты линии регрессии, число которых равно 2m+1.

Если N > 2m +1 , то коэффициенты а_к и b_к находятся по методу наименьших квадратов. Целевая функция имеет вид:

Для определения неизвестных параметров необходимо продифференцировать это выражение по,

приравнять полученные производные нулю, составить систему линейных уравнений и решить её относительно

. В результате получим: