Контрольная

Выбор вида модели и оценка ее параметров

Для отображения зависимости переменных могут использоваться показательная, параболическая и многие другие функции. Однако в практической работе наибольшее распространение получили модели линейной взаимосвязи, т.е. когда факторы входят в модель линейно.

Линейная модель множественной регрессии имеет вид:

Y_i= а₀ + а₁х_i₁+ а₂х_i₂ + ... + а_тх_im + . (1)

Анализ уравнения (1) и методика определения его параметров становятся более наглядными, а расчетные процедуры существенно упрощаются, если воспользоваться матричной формой записи этого уравнения

Y= Х +

где Y - вектор зависимой переменной размерности (п х 1), представляющий собой п наблюдений значений у_i;

Х- матрица независимых переменных, элементы которой суть п x т наблюдения значений т независимых переменных Х₁, X₂,...,X_m, размерность матрицы Хравна (п х т);

 - подлежащий оцениванию вектор неизвестных параметров размерности (m x l);

- вектор случайных отклонений (возмущений) размерности (n x 1). Таким образом,

Y=,Y=,=.

Уравнение (1) содержит значения неизвестных параметров а₀, а₁, а₂,..,а_т. Эти величины оцениваются на основе выборочных наблюдений, поэтому полученные расчетные показатели не являются истинными, а представляют собой лишь их статистические оценки. Модель линейной регрессии, в которой вместо истинных значений параметров подставлены их оценки (а именно такие регрессии и применяются на практике), имеет вид:

Y = Xa + =+e, (2)

где a - вектор оценок параметров;

е - вектор «оцененных» отклонений регрессии, е = Y - Хa - остатки регрессии;

- оценка значений Y, равная Ха.

Для оценивания неизвестного вектора параметров  воспользуемся методом наименьших квадратов (МНК). Формула для вычисления параметров регрессионного уравнения имеет вид:

а = (Х^TХ)^-1Х^ТY. (3)

В случае зависимости переменной Yот одного фактора X имеем:

= а_а+a₁Х.

Используя соотношение (3), получаем:

а₀=+a_1.

Содержание