1.4 Степенные производственные функции

Широкое применение в теоретических и прикладных исследованиях получили степенные производственные функции вида:

(1.17)

Такие функции обладают рядом достоинств: они включают небольшое число параметров, имеющих явный экономический смысл, имеют производные высших порядков, в большинстве случаев удовлетворительно выравнивают эмпирические данные и удобны при оценке параметров. Кроме того, эти функции включают безусловно необходимые ресурсы. Если какой либо из них x_s=0, то и объём выпуска y=0.

Параметр б интерпретируется как показатель общей эффективности ресурсов.

Применительно к рассматриваемой производственной функции имеем:

- средняя эффективность ресурса s.

- предельная эффективность ресурса s.

- предельная норма эквивалентной замены ресурсов.

- коэффициент эластичности производства по ресурсу i.

- коэффициент эластичности замены ресурсов.

Частным случаем функции (1.17) является однородная функция первой степени, в которой и . Коэффициенты эластичности такой функции определяют условное разложение объёма производства на части, создаваемые за счёт использования каждого ресурса в отдельности.

В экономических исследованиях такая функция была впервые применена К. Коббом и П. Дугласом.

 В 1928 году функция проверена на статистических данных Чарльзом Коббом и Полом Дугласом в работе «Теория производства». В этой статье была предпринята попытка эмпирическим путем определить влияние затрачиваемого капитала и труда на объем выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США. Общий вид функции

где А -- технологический коэффициент;

б -- коэффициент эластичности по труду;

в -- коэффициент эластичности по капиталу.

Если сумма показателей степени (б + в) равна единице, то функция Кобба -- Дугласа является линейно однородной, то есть она демонстрирует постоянную отдачу при изменении масштабов производства.

Если сумма показателей степени больше единицы, функция отражает возрастающую отдачу, а если она меньше единицы, - убывающую. 

Изокванта, соответствующая функции Кобба -- Дугласа, будет выпуклой и "гладкой"

Для модели Кобба- Дугласа прологарифмируем функцию

lnQ = lnA + lnK + lnL.

Тогда функция невязок будет выглядеть:

H= = min по A, ,

Частные производные по коэффициентам:

приравниваем нулю

Рассмотрим производственную функцию Кобба-Дугласа применительно к предприятию ООО «Квант»,построим систему по данным таблицы 2 приложения.

Решение производится методом Жордана-Гаусса. Заданная система уравнений имеет единственное решение: 

Из решения системы получаем lnA=0.001763, , . Из чего производственная функция Кобба - Дугласа запишется

Q=1,001764 *K^{-0.5890206547531}L^{1.5950238648312}

Функция отражает зависимость суммарного выпуска промышленности от общего объема использования труда и капитала [28; 29, 85]. Эта производственная функция имеет постоянную отдачу от масштаба, а доли факторов производства в продукте зависят от коэффициента б. Проверим адекватность производственной функции подставляя данные и вычисляя . Сравним полученные значения с существующими в таблице 5.

Производственная функция Кобба - Дугласа является приемлемой моделью производственной функции для предприятия ООО «Квант», поскольку этой модели соответствует незначительная ошибка и не большая сумма квадратов отклонений.

Таблица 5 - Существующие и вычисленные значения выручки по производственной функции Кобба - Дугласа.

(1.18)

При этом обязательным условием существования функции является:

0<б<1 (1.19)

У полученной производственной функция Кобба - Дугласа коэффициент отрицателен это означает, что с увеличением объема трудовых затрат объемы выпуска продукции абсолютно снижаются - это абсурдно, такое значение коэффициента вообще не имеет смысла в экономической теории. Нереально и допущение, что равен или больше единицы, что означает увеличение только трудовых ресурсов, например, в два раза при неизменном количестве остальных производственных ресурсов обеспечивает прирост выпуска продукции в два раза (если ) или даже более чем в два раза (если ).

Для функции Кобба-Дугласа уравнение изокванты имеет следующий вид:

.

Соответственно, предельная норма замещения будет:

,

а коэффициенты эластичности: E_L = б; E_K = 1 - б.

На рисунке 3 показана кривая замещения (изокванта) при фиксированном значении объёма Q.

Подобный вид изокванты логичен и легко объясним с экономической точки зрения - при неизменном объёме выпуска продукции увеличение объёма основных производственных фондов c K₁ до K₂ приводит к сокращению трудовых ресурсов от L₁ до L₂, причём

При увеличении объёма производственных фондов, возможности замены живого труда овеществлённым уменьшаются.

На рисунке 3 показаны изоклинали для производственной функции Кобба-Дугласа. Они показывают, какими будут объёмы производства при сохранении пропорций в производстве, то есть, когда .

Рисунок 3 - Изокванты и изоклинали производственной функции Кобба-Дугласа

Во многих исследованиях помимо упомянутых производственных функций линейной и степенной форм, в экономических исследованиях используется производственная функция с постоянной эластичностью замены (ПЭЗ). Её общий вид:

(1.20)

Функция (1.20) является однородной производственной функцией степени n и получается путём решения дифференциального уравнения (1.11) при у=const. В функции ПЭЗ все эластичности замены ресурсов равны между собой, то есть: . При этом или .

Если , то , если же , то . При функция ПЭЗ преобразуется в степенную функцию (1.17) [30, 169].

Как уже отмечалось ранее, у определяет форму изоквант. Если , то и форма изоквант приближается к линейной. Если же , то и форма изоквант приближается к прямоугольной.

В экономико-математическом моделировании в наше время часто используются мультипликативные степенные производственные функции (чаще - функция Кобба-Дугласа)[ 31; 37; 32; 33;] либо функция ПЭЗ, и практически не появляются какие-либо новые виды производственных функций. Всё, что происходит в этом направлении на данный момент (начиная с 70-х годов) - это внесение модификаций в уже существующие модели. Так, например, в своё время появилась производственная функция с учётом научно-технического прогресса (НТП), которая в самом простом виде может быть записана следующим образом:

, (1.21)

где j - параметр НТП;

t - время.

Существует несколько видов функций, учитывающих НТП, но все они строятся, на основе производственной функции Кобба-Дугласа.

Производится это оценивание чаще всего методом наименьших квадратов после линеаризации первоначальной функции (именно такой метод использовали Кобб и Дуглас во время выведения своей производственной функции [35, 217]). То есть оценивается не само уравнение (1.18), а следующее:

(1.22)

Основным методом, с помощью которого оцениваются параметры этой модели, является метод наименьших квадратов. Очевидно, что оценки модели (1.22) будут несмещёнными, состоятельными и эффективными [34, 576].

Если с помощью оценок модели (1.22), полученных МНК, описывать реальный процесс, то равенство будет выполняться при условии:

, (1.23)

где е - случайная составляющая, имеющая нулевое математическое ожидание и минимальную дисперсию (так как модель оценена с помощью МНК).

Пропотенцировать левую и правую части равенства (1.23), получим:

(1.24)

Сравнивая (1.21) и (1.24), получим, что .

То есть ошибка аппроксимации е, которую Р. Солоу приписал НТП, и является причиной смещения [17, 79].

Итак, в настоящее время производственные функции используются в основном как инструмент для расчётов конкретных показателей, хотя их аппарат значительно богаче и недооценён экономистами, и при этом в моделировании в подавляющем большинстве случаев используются лишь производственная функция Кобба-Дугласа и функция ПЭЗ, а также их различные модификации, которые ещё далеки от совершенства.