1. Сведения из теории

Узкополосным называется случайный процесс, основная мощность которого сосредоточена в узкой полосе частот по сравнению со средней частотой процесса. Если случайный процесс является низкочастотным, то его спектральная плотность записывается в виде

. (1)

Если случайный процесс является узкополосным и его спектральная плотность центрируется на частоте , то выражение для принимает вид

(2)

В этом выражении a- параметр, характеризующий ширину спектра на уровне половинной мощности, а w₀- средняя частота процесса. Первое слагаемое в последней формуле характеризует распределение мощности процесса на положительных частотах, а второе слагаемое- распределение мощности на отрицательных частотах. После приведения слагаемых к общему знаменателю в формуле (2) получим

.

Спектральная плотность, записанная как функция комплексной частоты , будет

(3)

Чтобы создать случайный процесс с такой спектральной плотностью необходимо последовательно соединить генератор белого шума и формирующий фильтр. Передаточную функцию формирующего фильтра найдем путем факторизации спектральной плотности S(s). Для этого надо найти нули и полюса функции S(s) и к одному множителю отнести нули и полюса с положительной вещественной частью, а к другому - нули и полюса с отрицательной вещественной частью. Тогда множитель, у которого нули и полюса лежат в левой полуплоскости плоскости комплексных частот s, и будет представлять передаточную функцию формирующего фильтра.

В нашем случае нули равны: и , а полюса равны: , , , . Множитель с нулями и полюсами в левой полуплоскости комплексных частот запишем в виде

= K(s). (4)

K(s) – искомая передаточная функция формирующего фильтра. При получении этой формулы мы положили в выражении (3) .

Зададим параметры спектральной плотности процесса, который мы собираемся моделировать: , т.е. ширина спектра равна 100 Гц и средняя частота равна 1000 Гц. Для выбранных параметров передаточная функция формирующего фильтра будет равна

. (5)

Для генерирования низкочастотного случайного процесса, спектральная плотность которого описывается выражением (1), необходимо поставить формирующий фильтр с передаточной функцией вида

(6)

На рисунке 1 показана реализация низкочастотного шума, а на рисунке 2- реализация узкополосного шума. Из рассмотрения рис. 2 следует, что реализация узкополосного шума представляет синусоиду со средней частотой w₀ процесса, у которой амплитуда и фаза изменяются во времени. Это наблюдение позволяет записать узкополосный процесс в виде

(4)

где и - огибающая и фаза, которые являются медленными функциями времени.

Рис. 1 Реализация низкочастотного случайного процесса, ширина спектра которого 100 Гц

Рис. 2 Реализация узкополосного случайного процесса, ширина спектра которого равна 100 Гц и средняя частота 1000 Гц.