1. Сведения из теории

Пусть x(t)- стационарный случайный процесс. Вероятностное описание этого процесса обычно производится по следующей схеме. Фиксируется некоторый момент времени t; значение процесса в этот момент времени представляет собой случайную величину X. Эта случайная величина может быть исчерпывающим образом описана путем задания функции распределения. Функция распределения, по определению, есть вероятность того, что случайная величина X примет значения, меньшие некоторого фиксированного значения x, т.е. . Таким образом, функция распределения есть зависимость вероятности неравенства от текущего значения аргумента x. Для непрерывных случайных процессов более удобной характеристикой является плотность вероятностей , которая является производной от функции распределения . Во многих практических задачах для изучения стационарных случайных процессов достаточно знать лишь одномерные функцию распределения и плотность вероятностей.

Экспериментальное определение законов распределения наиболее просто для случайных процессов, обладающих эргодическим свойством. Эргодическое свойство случайного процесса позволяет определить закон распределения не по множеству реализаций, зафиксированных в некоторый момент времени, а по одной реализации x(t) на большом интервале времени При времени наблюдения T, во много раз превышающем интервал корреляции, случайные отклонения статистических характеристик случайного процесса от теоретических становятся несущественными.

Наиболее распространенным методом экспериментального определения одномерного закона распределения случайного процесса является метод измерения относительного времени пребывания процесса выше определенного уровня (при измерении функции распределения) или между известными уровнями (при измерении плотности вероятностей). При этом для стационарного случайного процесса, обладающего эргодическим свойством, относительное время пребывания реализации случайного процесса x(t) выше определенного уровня x является оценкой для вероятности того, что случайный процесс в фиксированный момент времени t превысит этот уровень. Экспериментально найденная оценка для вероятности позволяет оценить эмпирическую функцию распределения с помощью соотношения

Процесс измерения по относительному времени пребывания иллюстрируется на рисунке 1. На эпюре 1 изображена реализация случайного процесса и два уровня ограничения x и +dx. На эпюре 2 показана часть реализации (усиленная и ограниченная), превысившая уровень . Чтобы не затемнять рисунок, часть реализации (усиленная и ограниченная), превысившая уровень x+dx, не показана. На эпюре 3 изображены прямоугольные импульсы, которые получаются путем вычитания части реализации, превысившей уровень x+dx, из части реализации, превысившей уровень x. Длительность импульсов, изображенных на эпюрах, соответствует времени пребывания реализации случайного процесса выше установленного уровня или между двумя уровнями. На эпюрах 4 и 5 показаны импульсы, длительность которых соответствует времени пребывания реализации выше уровня и между уровнями и x+dx соответственно, заполненные счетными импульсами.

Рис. 1. Эпюры напряжений, показывающие принцип измерения функции распределения и плотности вероятностей случайного процесса.

Интервалы времени t_i, втечение которых реализация находится выше установленного порога, будучи просуммированными, дают оценку для вероятности выше написанного неравенства, т.е.

(2)

В соответствии с (1) выражение для функции распределения принимает вид

. (3)

Изменяя пороговый уровень x так, чтобы перекрыть диапазон возможных значений исследуемого процесса и, всякий раз определяя долю времени, когда процесс превышает установленный уровень, мы по формуле (3) определим экспериментальную функцию распределения .

Аналогичный принцип может быть положен в основу построения устройства для экспериментального определения плотности вероятностей стационарного случайного процесса. Действительно, измеряя относительное время пребывания случайного процесса между двумя уровнями, мы получим оценку для вероятности того, что значение процесса x(t) в фиксированный момент времени лежит в интервале от x до x+dx. Экспериментально найденная оценка вероятности позволяет оценить плотность вероятностей с помощью соотношения

(4)

Процесс измерения по относительному времени пребывания иллюстрируется на рисунке 1. Определяя отношение времени, втечение которого реализация случайного процесса находится между уровнями x и x+dx, к общему времени наблюдения T, мы получим оценку для вероятности, стоящей в числителе выражения (4). Деление полученной вероятности на величину зазора между уровнями dx дает выражение для эмпирической плотности вероятностей

(5)

Для того чтобы получить значения эмпирической плотности вероятностей для всех значений аргумента, необходимо, оставляя постоянной величину зазора dx, изменять уровень анализа x, чтобы перекрыть весь диапазон возможных значений случайного процесса x(t).