2. Виробнича функція Кобба-Дугласа

капітал праця ізокванта виробничий

Нехай Y - обсяг випускаємої продукції, F - фінансові витрати, L - вартість робочої сили. Функцію

Y = aFб L в, 0<б<1, 0< в<1 (1)

називають виробничою функцією Кобба-Дугласа.

У загальному вигляді права частина рівності (1) може містити більшу кількість факторів.

Розглянемо деякі властивості виробничої функції.

1. Якщо рівень кожного виробничого ресурсу збільшити на ґ %, тоді обсяг продукції буде

З цієї рівності випливає, що при б + в >1 темпи росту обсягу продукції вище за темпи росту виробничих ресурсів.

При б + в > 1 темпи росту обсягу продукції будуть нижчі за темпи росту ресурсів.

2. Знайдемо частинні похідні першого порядку виробничої функції

Ці рівності означають, що граничний приріст продукції за рахунок приросту кожного ресурсу визначається як добуток коефіцієнта еластичності на середню ефективнність ресурсу.

Параметр a у виробничій функції (1.4) залежить від вибраних одиниць вимірювання Y, F, L, а його числове значення визначається ефективністю виробничого процесу.

3.Частинні похідні другого порядку виробничої функції мають вигляд:

Поскільки 0< б <1 і 0< в <1, то

Ці нерівності означають, що при збільшенні ресурсів граничний приріст обсягу продукції буде зменшуватися.

Якщо обсяг продукції Y у виробничої функції (1.4) вважати сталим, то можна обчислити граничні норми заміщення ресурсів.

Отже, гранична норма заміщення ресурсів у виробничій функції (1.4) визначається як добуток відношення величин ресурсів та їх коефіцієнтів еластичності.

Швидкість зміни норми заміщення ресурсів у звязку зі зміною величини ресурсів обчислюється за формулами.

Розглянемо поводження виробничої функції (1.4) при зміні маштабу виробництва.

Якщо витрати кожного ресурсу збільшити в л раз, то обсяг продукції Y прийме нове значення.

Тобто степінь однорідності виробничої функції дорівнює б+в.

Якщо б+в<1, то з розширенням маштабів виробництва середні витрати ресурсів в розрахунку на одиницю продукції зменшуються, а при б+в>1 - збільшуються.

Якщо до функції прибутку

застосувати метод Лагранжа знаходження екстремуму, то можна знайти значення Y, F та L, що забезпечують максимізацію прибутку.

Висновок: Модель виробничої функції Кобба - Дугласа дозволяє аналізувати виробничу діяльність, визначати шляхи її вдосконалення з метою підвищення ефективності.